Niveau Deity - Page 1

Afin de renouer avec une vieille tradition

Je ne vois pas comment ça pourrait être différent de 1???!!!!

j'essaierais de le faire ce soir si j'ai le temps et si j'y arrive...

Sur ce bonne aprés-midi.

chris.

Bon j'y ais jeté un coup d'oeil et c'est du costaud ce problème. Il attendra le weekend prochain ou en semaine si j'ai du temps.

A-priori je pense que la coupe peux-être dans n'importe quelle sens. En gros tu fait bouger ton oeuf suivant les trois directions x,y,z et tu prend une section. J'ai un ami qui aime bien les problèmes de ce genre, je lui demanderais comment il comprend l'énoncé. Je suis pas sur de bien de le comprendre, ou plutôt ça parait trés trés dur comme ça...

Je l'aime pas du tout celui-là.

chris.

Ce matin à l'aube, en prennant ma douche il y a un quart d'heure, j'ai eut beau tracé toute une série d'oeuf à hauteur des yeux sur le carrellage grâce à l'humidité , l'inspiration n'est pas venue me visiter

chris.

ben moi j'ai piqué de la pâte à modeler à mes filles et j'ai essayé de couper un cercle dedans, la solution ressemble a ce que j'ai dit plus haut. Encore une fois c'est empirique et je ne vois pas comment le démontrer scientifiquement. a toutes fins utiles pour les vrais matheux, la formule de l'elliposide est:

x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1 ou a, b et c sont les longueurs des demi-axes

Sauf horreur de ma part, il y a une erreur dans l'énoncé. La formulation exacte est: on coupe l'oeuf en deux moitiés égales de sorte que la section soit un disque parfait

(en fait c'est l'angle de coupe qui compte)

indice: l'ellipsoïde n'est là que pour nous enduire d'erreur; ça marche aussi bien en cherchant à découper un parralélépipède de côtés 1,2,4 pouces mathlandais pour avoir une section carrée.

Non, pas d'erreur dans l'énoncé à mon avis.

chris.

Pareil que Chris, sinon la question ne serait pas "au maximum", il n'y en aurait qu'une de solution.

beuh... je n'ai lu que la moitié de l'énoncé... (diamètre maximum)

ça fonctionne de la même manière, mais c'est plus visible en dimension 2: une ellipse est le résultat de la coupe d'un cône (ou d'un cylindre) selon un angle theta donné.
Avec un cylindre de rayon ton demi-petit-axe b, tu coupes selon l'angle Arctg(b/a).
si on crée un nouveau cylindre dont la section droite est l'ellipse précédente, en le recoupant selon l'angle Arctg(a/b), on retrouve le cercle précédent.

De manière plus mathématique, il faut voir la définition paramétrique selon u et v de l'ellipsoïde de demi-axes a, b, c:
x = a cos u sin v
y = b sin u sin v
z = c cos v

Ben on attend la suite du raisonnement avec impatience

Dans le post au dessus, la définition paramétrique correspond en fait à un passage en coordonnées sphériques (R, phi, theta) associé à un changement d'échelles


Une solution beaucoup plus simple reposant sur le calcul du volume:

Si on se place dans un repère orthonormé (ce qui est le cas initial)
Le volume d'un ellipsoïde est pi*a*b*c/6 (a=4,b=2;c=1)
Choisissons maintenant un repère orthonormé passant par le plan de coupe, ce qui correspond à une rotation; la formule du volume deviendra pi*D²*c'/6
Mais le petit axe c' vaut 1
Donc D = SQR(8) = 2.8184

En gras le point délicat du raisonnement... qui est je pense exact mais reste à prouver!!!

Bon GD va falloir revoir ta démonstration Au demeurant d'un haut niveau mathématique.


La bonne réponse est 1, même si je n'ais toujours pas compris pourqu'oi.


Tboh en avait eut l'intuition. Il faudrait qu'il nous réexplique ça.

chris.

edit: aprés m'être raffraichi la mémoire sur les ellipsoides, et peut-être aussi aprés avoir vu la réponse , on se demande comment la réponse peut-être différente de 1.

Venceslas :
et peut-être aussi aprés avoir vu la réponse

Et ou que c'est que j'aurais trouvé ça?


C'était juste une intuition (visualisation dans l'espace) que le rayon du plus grand cercle, ne pourrait être différent de la plus petite des dimensions.

Tboh, tu te sentirais pas un peu persécuté ? je parlais de moi

Néamoins aprés réflexion(la mienne rien à voir avec toi ), il n'etait pas évident qu'il n'existe une coupe suivant une diagonale(donc pas une coupe parralèle à l'un des trois axes) inférieur à un.

chris.

J'ai cru que dans ton edit tu avais repris ma première phrase

D'où l'expresssion très en vogue dans les banlieues mathlandaises : "Mettre sa bouche en cul de poule", que l'on traduira par : "faire une horrible grimace"...

Venceslas :
Bon GD va falloir revoir ta démonstration Au demeurant d'un haut niveau mathématique.


La bonne réponse est 1, même si je n'ais toujours pas compris pourqu'oi.


Tboh en avait eut l'intuition. Il faudrait qu'il nous réexplique ça.

chris.

edit: aprés m'être raffraichi la mémoire sur les ellipsoides, et peut-être aussi aprés avoir vu la réponse , on se demande comment la réponse peut-être différente de 1.

Je suis certain que c'est au moins 2

L'ellipsoïde est un solide "continu", et quelque soit le plan par lequel on le coupe, on obtient une ellipse.
En le coupant perpendiculairement au petit axe, on obtient une ellipse d'axes 2 et 4
En faisant varier le long de l'axe des y le plan de coupe, on fera pas varier le petit axe de notre ellipse (valeur 2), alors que le grand axe descendra jusqu'à 1...
2 est donc une valeur minimum...
Mais on peut peut-être faire plus grand; et la valeur 2 paraît trop simple...

Mais rien ne prouve que cela forme un disque, non?

chris.

Je vais me mettre sérieusement sur ce problème. Peut-être que j'arriverais à avoir des arguments plus convainquant.

chris.

Tu ne peux pas avoir 2, puisque ta hauteur maximum est 1!!???!!

Il y a peut-être une incompréhension sur l'énoncé. Aprés avoir longuement délibéré avec moi-même, j'en ais déduis que les dimensions représentaient l'axe dans son entier et non le demi-petit ou le demi-grand axe.

L'équation de la plus grosse ellipse est donc avec mes hypothèses:

y*y+z*z/4=1

chris.

on parle de rayon pas de diamètre

Oui, clairement avec ma compréhension de l'énoncé, 2 en rayon est une valeur impossible.

chris.

Je demande l'indulgence du jury: parler de dimensions d'en ellipsoïde (donc des axes entiers) et demander le rayon de la section circulaire; il y a un piège à c... ...et j'en suis un!!

on est quand même d'accord pour dire que le rayon est 1 et le diamètre 2

Et bien aprés un peu de réflexion, je reviens sur ce que j'ai dit, il ne me parait du tout évident que le rayon soit de 1.

En effet l'équation de l'ellipsoide est dans mon repère(qui se déduit assez logiquement):

4x*x+y*y+z*z/4=1

Cherchons un disque dont le centre est sur l'axe Oz, parrallele au plan Oxy:

L'ensemble des points M(x,y,z) constituant le cercle est alors solution de:

4x*x+y*y+z*z/4=1 equation de l'ellipsoide
z=a équation du parralele au plan Oxy

Regardons, si il existe une valeur afin que l'intersection de ces deux figures donnent un cercle.

L'ensemble des points M vérifie alors:

4*x*x+y*y=1-a

l'ensemble décrit par le point M n'est pas un cercle, on ne trouvera donc aucun cercle dont le centre se trouve sur l'axe Oz.

Le même raisonnement se fait trés facilement sur les deux autres axes. Bref, sauf grossière erreur de raisonnement de ma part, le disque ne se trouve pas dans un plan perpendiculaire à l'un des trois axes.

Conclusion: Pour moi, la coupe du disque est donc dans un plan trés tordu, que je chercherais demain si j'ai un peu de temps.


Tboh, contrairement à toi, je n'ais pas du tout visualiser de solutions au problème, pourrais-tu me dire ou tu voies le disque? Je ne suis donc pas d'accord avec ton affirmation, même si d'aprés la correction elle est vrai. Mais je ne demande qu'à être convaincu

chris.

Bon, en pousuivant sur ma lancé:

Définisons l'ellipsoide dans un repère orthonormé (O,i,j,k) par:

4x2+y2+z2/4=1 Les axes s'en déduisent.


L'intersection d'un plan avec l'ellipsoide, quand elle existe donne une ellipsoide ou un cercle. Si elle ne donne pas de cercle, cela signifie que le problème n'a pas de solutions.

Si elle donne un cercle(donc je suppose l'existence d'au moins une solution), on peux se contenter de déterminé l'intersection d'une sphère avec l'ellipsoide.


La sphère centrée à l'origine, de rayon R, a pour équation x2/R2 + y2/R2 + z2/R2 = 1

Un équateur de la sphère cherchée passe par un des axes de coordonnées en coupant l'ellipsoïde suivant un cercle. Cette axe ne peux-être que Oxy. J'ai pompé cette belle phrase sur internet

Cela se comprend bien car l'axe Oy est médian(a>b>c) car a=1/2 b=1 c=2

Les équations des cercles sont données par le système :

4x2+y2+z2/4=1
x2/R2 + y2/R2 + z2/R2 = 1 (Comme c'est l'axe Oy R=b=1)

Qu'on peux écrire:

4x2=z2
4y2+5z2=4 (ce qui représente je pense un cylindre)

Ces cercles(forcément il y a deux solutions symétriques) sont donc dans le plan 2x+z=0 (Plan P) ou 2x-z=0(Plan P')

L'intersection du cylindre et des plans donnent les deux cercles solutions.

On garde uniquement le plan P, puisque que les deux solutions donnent de toute façon le même rayon.

Le point A(0,0,0) appartient à P
le point B(0,1,0) appartient à P
le point C(1,0,2) appartient à P

donc les vecteurs AB et AC sont vecteurs directeurs du plan car il n'existe pas k tel que AB=kAC

En normant AB(0,1,0) et AC(1,0,2) on obtient:

I=j
J=(5^0.5/5)i-(2*5^0.5/5)k

On prend alors dans le plan P le repère O,I,J tel que:

I=j
J=(5^0.5/5)i-(2*5^0.5/5)k

soit:

OM'=X*I+Y*J
OM=x*i+y*j+z*k

On a alors les formules de changement de repère par identification:

x=5^0.5/5Y
y=X
z=-(2*5^0.5/5)Y

En reportant dans 4y2+5z2=4 on obtient: X2+Y2=1

La réponse est donc un rayon de 1

chris.