Une précision pour Ethaniel : la simple connexité est une propriété intrinsèque, c'est-à-dire que c'est une propriété d'un espace topologique indépendamment du fait que celui-ci soit ou non une partie d'un espace plus grand.
Donc ce que dit Kevin c'est ce que j'avais dit à propos de la sphère (une partie est simplement connexe si et seulement si elle et son complémentaire sont tous les deux connexes par arcs) sauf qu'il précise que E est inclus dans le plan (autrement dit il ne contient pas le point à l'infini). Mais qu'il soit considéré comme partie de la sphère ou comme partie du plan, ça reste le même E, donc s'il est simplement connexe dans un cas il l'est dans l'autre.

Par contre « le complémentaire du Mandelbrot sur le plan » et « le complémentaire du Mandelbrot sur la sphère (plan U {point à l'infini}) » sont deux ensembles différents bien sûr (le premier étant égal au deuxième privé du point à l'infini), c'est pourquoi le second peut être simplement connexe sans que le premier le soit.

(Je dis ça juste pour éviter une erreur de compréhension dans ce qu'on a dit telle que : si je prends le complémentaire du Mandelbrot sur le plan et que je le colle sur la sphère, pouf il devient simplement connexe. Ça c'est absolument impossible.)