Ensuite, est ce qu'il existe des contre exemples qui soient des parties du plan, je n'en sais rien...

Ouais yen a...

On appelle
A le point (1/Pi,0)
B le point (1/Pi,2)
C le point (-1,2)
D le point (-1,0)
E le point (0,0)

On prend le graphe de sin(1/x), sur ]0,1/Pi[, et on y rajoute les segments [A,B], [BC], [CD], [DE].

L'espace obtenu est simplement connexe mais pas contractile. (par contre il est faiblement contractile, c'est à dire que tous ses groupes d'homotopie sont triviaux ; c'est assez pathologique comme situation...)