Bon, voilà comment j'ai compris les choses. D'abord il faut dire deux trois mots sur la relativité générale :

L'univers tout entier (espace+temps) est une variété riemannienne.
- Une variété, c'est un espace topologique (plan, sphère, tore, etc... sauf que ces trois exemples sont des variétés de dimension 2, alors que l'espace temps est de dimension 4, pas très facile de se le représenter).
- riemannienne, ça veut dire que cette variété est dotée d'une métrique : la variété est munie d'un objet appelé tenseur métrique ; c'est une fonction qui à chaque point associe une matrice 4*4, permettant de définir la distance entre deux points, et la courbure de l'espace temps en un point.

Dans cet univers, on trouve de la matière (ou de l'énergie : c'est la même chose, du point de vue de la relativité générale). Cette distribution de matière est décrite aussi par un tenseur, qu'on appelle tenseur énergie-impulsion. C'est une fonction qui à chaque point de l'espace associe une matrice 4*4, et qui décrit la quantité de matière(/énergie) en ce point, ainsi que son mouvement (vitesse).

Enfin, le tenseur métrique et le tenseur énergie-impulsion sont liés entre eux par l'équation d'Einstein. (Ce qui explique que la courbure de l'univers dépend de la matière qui s'y trouve, et réciproquement l'accélération de la matière dépend de la courbure de l'univers (=>gravitation)). L'équation d'einstein est une équation aux dérivées partielles, simple et élégante, mais pour laquelle il est pratiquement impossible de donner une solution exacte (sauf dans des cas vraiment très simples ; exemple : le problème à 1 corps est résoluble en relativité générale, mais le problème des deux corps ne l'est pas...). Le travail des cosmologistes consiste à élaborer des solutions (approchées, ou bien simplifiées) à l'équation d'einstein (c'est à dire trouver une variété avec une métrique et une répartition de la matière vérifiant l'équation..), et si possible des solutions compatibles avec les observations astronomiques...


Maintenant quelques remarques :

- L'espace temps existe en soi, il n'est pas contenu dans quelque chose de plus grand, et il ne s'agrandit dans rien
- Quand on parle de forme de l'univers, il faudrait faire attention si on parle de l'espace temps tout entier (de dimension 4) ou juste des tranches d'espace (de dimension 3).
- Une singularité, c'est un point de la variété où le tenseur métrique n'est pas défini, parce que certains de ses coefficients tendent vers l'infini quand on s'en approche (quand on résoud une équation différentielle y'=f(y) sur R, on ne trouve pas toujours de solution sur R tout entier... ben c'est pareil avec l'équation d'einstein, sauf que c'est en dimension >1). Par exemple il y a une singularité au centre d'un trou noir. Le Big bang est aussi une singularité, d'un autre genre.
- L'espace temps est une variété sans bord. En fait j'imagine qu'on pourrait faire une théorie de la relativité sur une variété à bord, mais ça serait violemment exotique. Je dirais qu'un tel univers ne respecterait pas la conservation de l'énergie (de la matière pouvant apparaitre ou disparaitre arbitrairement au niveau du bord) ; que l'équation d'einstein ne serait plus du tout déterministe ; et que plus généralement il y aurait près des bords des phénomènes d'une telle violence que le big bang serait une blague à côté. Je ne crois pas qu'il existe un modèle sérieux d'univers avec bord.

le volume total occupé par l'univers ne peut a priori pas être supérieur à celui d'une sphère de rayon âge de l'univers×vitesse de la lumière

Si.
Ce que dit la relativité, c'est que la matière ne peut pas aller à une vitesse supérieure à c, par rapport au bout d'espace sur lequel elle se trouve. Mais si l'espace-temps lui même se déforme suffisamment vite, on peut trouver des objets suffisamment éloignés dont la vitesse apparente est >c