Si tu sais te servir d'un fer à souder, tu peux dénuder et ressouder le câble cassé. Le conducteur extérieur est à souder à la carcasse métallique, le conducteur intérieur sur la broche du milieu de l'interrupteur.
Sinon, une solution plus simple est d'acheter un adaptateur comme ça, et de brancher un câble d'antenne dessus :

ou directement un câble comme ça :

Du coup tu n'auras plus besoin du boîtier avec l'interrupteur, tu pourras brancher le câble directement sur la Master System.