[ul][li]Soit t l'angle de la part, on pose n = [2pi/t] (partie entière), a = 2pi – nt et b = t – a. On prédécoupe le gâteau (ce qui ne change rien) en 2n+1 parts d'angles a et b alternativement (donc ça commence par a et ça finit par a). On place le couteau entre les deux parts a consécutives. On constate alors que la séquence correspondant à un coup ne modifie pas cette configuration : on coupe une part de taille t, ce qui correspond exactement à l'ensemble part a + part b qui suit le couteau, et ensuite on retourne cette part, ce qui intervertit la position des deux petites parts. Ainsi ça devient b suivi de a, on a de nouveau des parts a et b alternées sur tout le tour et la nouvelle position du couteau est de nouveau entre les deux a consécutives.[/li]
[li]On prend comme référence la position du couteau et on considère que c'est le gâteau qui tourne. L'effet d'un coup sur la liste des parts a est alors de retourner la première part puis de faire une permutation circulaire qui la place en dernière position. L'effet sur la liste des parts b est identique.[/li]
[li]Par conséquent, en n coups on retourne toutes les parts b en les remettant à leur place initiale et en n+1 coups on fait de même avec toutes les parts a.[/li]
[li]Comme ces deux nombres sont premiers entre eux, ce n'est qu'après n(n+1) coups qu'on a à nouveau simultanément toutes les parts a dans le même sens et toutes les parts b dans le même sens. Mais comme n et n+1 n'ont pas la même parité, le gâteau est alors dans la configuration qui plaît à Nil (échiqueté). Par contre au bout de 2n(n+1) coups il redevient tout blanc.[/li] [li]La réponse à la question subsidiaire est donc : le gâteau ne peut devenir entièrement noir *que* si a = 0 (donc si t divise 2pi).[/li][/ul]