Et d'ailleurs, n'importe quelle transformation affine dans |R² (de la forme Az+u, A une matrice, u un vecteur de translation) a une représentation complexe de la forme az+a'conj(z)+b avec a, a' et b dans (C.

Démonstration:
[a11,a12;a21,a22]*[z1;z2]+[u1;u2]
= [a11 z1 + a12 z2 + u1;a21 z1 + a22 z2 + u2]
= (a11 z1 + a12 z2 + u1) + (a21 z1 + a22 z2 + u2) i
= (a11 real(z) + a12 imag(z) + u1) + (a21 real(z) + a22 imag(z) + u2) i
= (a11 (z+conj(z))/2 + a12 (z-conj(z))/(2i) + u1) + (a21 (z+conj(z))/2 + a22 (z-conj(z))/(2i) + u2) i
= a11/2 z + a11/2 conj(z) - i a12/2 z + i a12/2 conj(z) + i a21/2 z + i a21/2 conj(z) + a22/2 z - a22/2 conj(z) + (u1+u2i)
= (a11/2 - i a12/2 + i a21/2 + a22/2) z + (a11/2 + i a12/2 + i a21/2 - a22/2) conj(z) + (u1+u2i)
= ((a11/2+a22/2)+(a21/2-a12/2)i) z + ((a11/2-a22/2)+(a12/2+a21/2)i) conj(z) + (u1+u2i)

Donc les 2 représentations sont équivalentes, on peut très bien ne travailler qu'avec des complexes tant qu'on est dans |R². Mais on a besoin de 6 coordonnées pour le cas général, comme avec les matrices (évidemment - on ne peut pas faire disparaître des coordonnées comme ça; toute bijection de |R² dans |R est très tordue et inutilisable en pratique pour tout sauf montrer que les cardinaux sont les mêmes).