Sally (./4760) :
Euh j'aime bien ta définition, pour la canonicité on pourrait dire aussi que si quelque chose est inventé indépendamment par plusieurs personnes à plusieurs endroits/époques différents ça a des chances d'être un peu canonique...

Oui, encore que ces deux personnes puissent avoir été motivées toutes les deux par une chose non-canonique commune et à ce moment-là ça ne marche plus... (déjà rien que le fait que ces deux personnes parlent des langues qui partagent une origine commune non-canonique pose problème)
Mais ça dépend de ta définition d'"époque", disons que si c'est deux civilisations différentes et que la 2è civilisation n'a pas eu connaissance de la première et n'a rien hérité d'elle y a pas de problème

mais sinon j'aurais probablement dit que si tu définis, tu inventes, et si tu démontres, tu découvres. Par conséquent les maths c'est les deux, tu inventes des théories qui te permettent de découvrir des résultats ?

Je ne vois pas les choses comme ça... "Découvrir" que (propriété crade d'une fonction par morceaux crade) => (SolveurCrade 3.0 peut la résoudre), ça n'est canonique que modulo la donnée de l'hypothèse et de la conclusion -- et une fois données l'hypothèse et la conclusion, ben il n'y a plus rien à faire, soit la preuve existe soit elle n'existe pas (ou alors tu prends aussi en compte le contenu exact de la preuve ? à ce moment-là une preuve pas triviale n'est plus du tout canonique, de même qu'un gros programme n'est jamais canonique). Inversement, poser la définition des entiers naturels, à moins de prendre une notion d'égalité trop concrète, c'est quelque chose d'assez canonique (même si ça ne devient franchement canonique que quand on munit N de sa structure). Quelque part c'est plus l'objet mathématique qui est canonique. Et cet objet peut être aussi bien une définition (l'ensemble N) ou un théorème (qui correspond à l'ensemble des preuves de ce théorème)

Dit d'une autre façon, tu inventes une théorie, tu inventes des résultats à partir de cette théorie (à partir de preuves que tu as aussi inventées), et si ce truc se révèle être joli mathématiquement alors c'était (rétrospectivement) une découverte plutôt qu'une invention (sauf le détail des preuves, qui reste une invention à moins qu'il soit extraordinairement canonique lui aussi) ; peut-être aussi que c'est pas joli mathématiquement, mais que c'est suffisamment intéressant pour qu'on puisse par la suite découvrir une nouvelle théorie qui utilise sensiblement les mêmes idées.

bon sinon j'étais en train de lire wikipedia à propos des gammes tempérées (ou non) et est-ce que toutes ces gammes sont des inventions ou des découvertes ? en fait j'ai l'impression que ce sont dans un premier temps des découvertes parce que maintenant qu'on connaît toute la théorie ça semble évident et naturel (mais est-ce qu'il n'y a pas des présupposés non-évidents qu'on ne voit pas ?) ; mais après ça, les tempéraments inégaux sont peut-être davantage des inventions (dans la mesure où c'est pas une construction mathématique simple à laquelle tu penses immédiatement dès que tu as compris le problème)

<pavé>

Tiens je sais plus si j'ai déjà parlé ici de ce genre de choses... Alors je crois qu'il y a vraiment une découverte* sous-jacente, c'est la faculté de l'oreille à discerner des rapports de fréquences de la forme 2^n.3^p.5^q avec n quelconque (on peut quotienter par les puissances de 2 pour s'en débarrasser), et p et q "raisonnablement faibles". La raison pour laquelle p et q sont faibles c'est que 5*3^8 = 32805 ~= 32768 = 2^15 modulo un pour mille de différence, qui est une différence à peine audible, donc quand on quotiente par 32805=32768 on obtient seulement 53 valeurs. En fait on pourrait se contenter des puissances de 3 avec q=0, et on obtiendrait aussi ces 53 valeurs (c'est d'ailleurs de là que vient le 53 : 3^53 est presque une puissance de 2, par contre la précision est un peu moins bonne que pour 32805), mais les valeurs de p obtenues ne correspondent pas à ce qu'entend l'oreille : 3^8, par exemple (tierce majeure), est perçu comme bcp plus pur que 3^6 (quinte diminuée), alors que 8 est plus élevé que 6 donc on est plus "loin" de l'unison et ça "devrait" être plus dissonant. Alors que si on rajoute la base 5, on a 3^8 = 5 (plus simple), tandis que 3^6 = 5 * 3^-2 (plus compliqué), ce qui correspond bien mieux à ce qu'entend l'oreille. De façon peut-être moins facile à mettre en évidence, les familles 3^p.5^q pour q fixé et p variable correspondent à des caractères relativement différents, ce qui justifie aussi l'introduction de la base 5. Par contre, si on rajoute des bases plus compliquées comme la base 7 ou 11 on ne peut rien expliquer de plus (à ma connaissance), autrement dit ce n'est pas comme ça que fonctionne l'oreille. Bref, pour résumer les 53 valeurs peuvent être obtenues avec p€[-4..4] et q€[-2..3] (ou [-3..2]).

Alors, est-ce que ces 53 valeurs sont vraiment audibles ? Oui et non ; déjà il y a le problème des valeurs extrêmes (genre |q|=3) qui n'ont pas vraiment de sens musical, donc il n'y a pas vraiment 53 valeurs, mais genre une quarantaine. Deuxième problème, si tu demandes à une personne dans la rue de faire la différence entre 3/5 (tierce mineure juste) et 3^-3 (tierce mineure pythagoricienne, un comma en-dessous) elle te dira que c'est la même chose. Culturellement, notre oreille est habituée à projeter cette quarantaine de tons sur les 12 tons de la gamme tempérée, donc on ne fait pas la différence (enfin si, on entend que la tierce mineure juste est "plus fausse" que l'autre parce qu'elle est plus éloignée de la gamme tempérée, mais il n'y a pas de différence de caractère). En revanche la musique classique indienne fait la distinction entre certains de ces tons, et il y a de vraies différences de couleurs...

Mais il y a plusieurs problèmes, et le problème n°1 c'est que cette découverte est gênante techniquement : on ne voit pas comment faire un piano avec 50 touches par octave... Du coup on commence par les touches les plus simples : le Do, par rapport à qui on va mesurer tous les rapports de notes. Puis 3^1 * 5^0 (Sol), 3^-1 * 5^0 (Fa), 3^2 * 5^0 (Ré), 3^-2 * 5^0 (Sib), 3^0*5^1 (Mi), etc... On a de la chance, toutes ces notes sont assez écartées les unes des autres : les deux plus proches, Fa et Mi, ont quand même 6% de différence (un demi-ton), c'est suffisamment énorme pour justifier une touche supplémentaire (si on joue les deux notes ensemble, c'est complètement dissonant). Mais à un moment on va tomber sur deux notes proches, par exemple les deux tierces mineures dont je parlais tout à l'heure : elles n'ont plus que 1% de différence (un comma). Pour éviter d'inclure 53 touches, on va devoir en choisir une des deux : c'est de là que vient l'arbitraire dans le choix du tempérament. Par exemple on va dire qu'on fait le choix de la tierce mineure juste, et on continue jusqu'à avoir une gamme -- et cette gamme contiendra 12 notes. Est-ce que c'est canonique ? A la limite pourquoi pas, si ça découle d'un ordre canonique sur les (p,q) -- mais c'est là qu'on touche à la limite de ma définition de canonicité, c'est que même si c'est plutôt canonique ce n'est pas beau mathématiquement au sens où c'est quand même un gros hack, un hack canonique mais un hack. Une limite de ce hack c'est que la gamme qu'on obtient n'est pas stable par transposition, et ça pose des gros problèmes quand on veut composer du Chopin. Du coup on a recours à un autre hack, c'est de prendre des notes qui n'ont absolument aucune signification pour l'oreille (les rapports entre fréquences sont irrationnels), mais tels que tous les demi-tons soient égaux. Ca veut dire qu'on peut transposer comme on veut, mais en contrepartie on a quitté les fondements physiques des intervalles sonores, notre oreille s'habitue à juger ces intervalles irrationnels comme plus justes que les intervalles justes correspondants, et on perd toutes les nuances de ces 53 tons -- ou plus exactement, il faut qu'il y ait un accompagnement harmonique qui exprime cette nuance pour qu'on la perçoive, alors qu'en musique indienne une simple ligne mélodique sans accompagnement peut exprimer ces nuances à elle seule. Bref, le tempérament égal est un gros hack aussi -- mais là encore, c'est vraiment le plus simple des hacks donc quelque part il est canonique. Donc si on devait le classifier comme une découverte plutôt que comme une invention, ce serait pas une découverte fondamentale sur le fonctionnement de notre oreille ou sur notre perception musicale, c'est une découverte fondamentale sur comment faire de la musique potable tout en supprimant les trois quarts des notes et en symétrisant les quelques notes restantes ^^


* : bon en fait je ne sais pas exactement à quel point c'est accepté scientifiquement, ça vient d'un bouquin de lui mais j'ai du mal à trouver des sources faisant autorité sur le sujet, surtout que comme la recherche dans ce domaine date de quelques décennies la plupart des articles sont payants ; en tout cas c'est une théorie très jolie, plausible, et qui a l'air d'expliquer tout ce qu'on peut vouloir expliquer, donc on va faire comme si c'était vrai

</pavé>