Preuve topologique de l'existence d'une infinité de nombres premiers :

On munit Z de la topologie engendrée par les progressions arithmétiques S_(a,b) = { ax+b, x€Z }
(Autrement dit, E est un ouvert si pour tout u de E il existe k tel que tous les u+kx, x€Z, sont dans E)
Il est clair que :
- tout ouvert non vide est infini
- le complémentaire d'un S_(a,b) est une réunion finie de S_(a,b'), donc est ouvert ; par conséquent S_(a,b) est ouvert et fermé.

Supposons qu'il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers.
Alors comme Z\{-1,+1} est la réunion des S_(p,0) pour p premier, on a Z\{-1,+1} fermé, donc {-1,+1} ouvert, mais il est fini, contradiction.