dualmoo (./7912) :
hippo > c'est quoi au juste un entier standard ?

La logique du premier ordre permet de dire que:
0 est un entier naturel.
Si n est un entier naturel, alors succ(n) est aussi un entier naturel. (succ(n) est habituellement noté n+1, mais l'addition a besoin de ses axiomes avant d'être utilisée.)
(plus d'autres axiomes qui caractérisent l'ensemble, on appelle le tout les axiomes de Peano).

Le problème, c'est que la logique du premier ordre n'a aucun moyen d'exprimer le fait que si un nombre ne peut pas être construit par les 2 axiomes ci-dessus, il n'est pas un entier naturel. Donc il existe des "modèles" des entiers naturels (c'est-à-dire des ensembles qui remplissent les axiomes de Peano) qui sont plus grands que celui qu'on considère normalement, en particulier, des modèles indénombrables!

On appelle le modèle standard (et là je ne suis pas sûr si cette construction est rigoureuse, intuitivement c'est l'idée, mais je ne suis pas sûr si définir ça comme ça ne crée pas de problèmes) le plus petit modèle des entiers naturels, c'est-à-dire le modèle M pour lequel on peut construire une injection de M vers tout autre modèle M' des entiers naturels. Les modèles qui ne sont pas en bijection avec le modèle standard sont dits non-standard.

Les mêmes considérations sont valables pour les entiers relatifs.