Hmm, bonne question en fait. Au départ je pensais que c'était combinatoirement impossible, mais en fait il est possible de construire un graphe (dont les noeuds seront les faces carrées) qui a 5 noeuds dont chacun est connecté à 4 autres noeuds, c'est simplement le graphe complet K5.

Si on dessine un patron de ce pseudo-cube, ça ressemblerait à ça :



Ensuite il faut coller les arêtes 1 et 2, 3 et 4, 5 et 6, 7 et 8 (classique).

Puis il faut coller les arêtes 9 et 10 d'une part, et 11 et 12 d'autre part. On a deux sens possibles : soit relier AH à DE, soit relier AH à ED


Dans le premier sens (AH collé sur DE, BC collé sur GF), on voit qu'après le collage, B=G=H=E=F=C, du coup ça marche pas, les sommets sont tous collés les uns sur les autres.

Dans l'autre sens, A=E=F=B et H=D=C=G, on a donc un hypothétique polyèdre à 5 faces carrées, 6 sommets, et 10 arêtes. Il n'est pas régulier car les sommets AEFB et HDCG ont 4 faces adjacentes, contrairement aux 4 autres sommets qui ont 3 faces adjacentes. Donc déjà on voit que c'est pas possible d'avoir un solide régulier avec 5 faces carrées.

Reste à savoir si on peut faire vivre une telle figure dans un certain espace (pas euclidien en tout cas). Un espace projectif peut-être ?

La caractéristique d'Euler-Poincaré d'un tel espace serait égale à S-A+F = 6-10+5 = 1
Or c'est effectivement la caractéristique d'Euler Poincaré de l'espace projectif.

Bref, au feeling ça a bien l'air d'un polyèdre non régulier de l'espace projectif.