Ce qu'il te faut dans l'immédiat, ce n'est pas un changement d'établissement, c'est aller voir un psychologue/psychiatre ou un médecin. Si c'est effectivement une dépression, ça doit être pris en charge rapidement, et rien ne dit qu'un changement d'établissement soit la bonne solution, ni que ça résolve le problème (même si pour toi ça semble évident).

Et autant te le dire franchement : une lettre comme ça ne vas pas t'aider. Même si ce n'est pas juste et qu'il ne te le dira pas en ces termes, le chef d'établissement ne va pas privilégier la demande d'une élève en difficulté psychologique et scolaire qu'il ne connaît pas, en cours d'année, alors qu'il n'a plus de places disponibles.

Si tu n'as pas envie / ne peux pas en discuter avec tes parents, l'infirmière peut peut t'aider à prendre rendez-vous chez un médecin ou psy qui pourra t'aider, et je crois que le prix de la consultation peut être pris en charge dans certains cas (Nil ?)