Ce qu'il faut voir, c'est que les termes de la suite sont composés de morceaux qui n'interagissent pas entre eux.
Par exemple, si on a le terme 13211321322113, alors les parties en bleu et en vert évoluent indépendamment l'une de l'autre.
Chaque partie qui évolue indépendamment de ce qu'il y a avant et après est appelée un élément.
Chaque terme de la suite est composée d'une liste d'éléments concaténés. On peut dresser une liste de tous les éléments qui apparaissent, il y en a 92. Du coup, pour le fun et comme moyen mnémotechnique, Conway leur a donné le nom des 92 éléments chimiques :
Hydrogène H = 22
Hélium He = 13112221133211322112211213322112
Lithium Li = 312211322212221121123222112
.....
.....
Protactinium Pa = 13
Uranium U = 3
L'exemple que j'ai donné au dessus est Ho At. (Holmium Ho = 1321132, Astate At = 1322113)
Ensuite, à chaque étape, chaque élément se décompose en une liste d'éléments :
H -> H
He -> Hf Pa H Ca Li
Li -> He
.....
.....
Pa -> Th
U -> Pa
(Et dans l'exemple, Ho -> Dy et At -> Po, donc le terme suivant est Dy Po = 1113122113121113222113)
Du coup, si on met dans un vecteur V(n) de 92 entiers le nombre d'éléments qui se trouvent dans le n-ième terme de la suite, on a :
V(n+1) = M*V(n)
où M est une matrice de taille 92*92 facile à calculer.
A partir de là, il y a des résultats bien connus sur les suites récurrentes linéaires qui permettent de connaitre un équivalent de V(n) : on calcule le rayon spectral de M (c'est à dire sa plus grande valeur propre), et le vecteur propre associé. On sait alors quelle est la proportion asymptotique de chacun des 92 éléments (et donc, la proportion de 1, 2 et 3), et la longueur asymptotique du terme de la suite, d'abord en éléments, puis en chiffres 1, 2 et 3.
On trouve que la longueur de la suite augmente comme l^n, où l = 1,30... est la constante de Conway, et est racine d'un polynôme de degré 71 qu'on sait calculer, et les proportions de 1, 2 et 3 sont à peu près 50%, 31% et 19%.
En cherchant, genre "suite conway éléments", il y a plein d'infos là dessus sur le web...
