Bonsoir,
Dans mes annales de bac, j'ai pioché au hasard un exercice pour m'entraîner...
Enfin c'était pas du hasard, j'ai pris le plus court

J'ai un problème dans mes raisonnements.. j'ai pourtant mi plus de temps à tout vérifier que de le faire...

énoncé :

"1 - Si 2 entiers naturels sont premiers entre eux, montrer qu'il en est de même pour leur somme et leur produit"
>> Là, ca va je pense...
Ma réponse :
Soient a et b deux entiers naturels premiers entre eux.
Soit d un entier naturel tel que d divise ab et d divise a+b :
Si d divise ab, alors d divise soit a soit b.
Si d divise a et que d divise a+b, alors d divise b. Donc d divise a et b, donc d est égal à 1.
Si d divise b et que d divise a+b, alors d divise a. Donc d divise a et b donc d est égal à 1.
Dans tous les cas, a+b et ab sont premiers entre eux.


"2- Déduire l'ensemble des couples (a,b) de NxN tels que :
a+b=96
PPCM(a,b)=180
"

Bon, là j'ai du mal, mon raisonnement m'a l'air de tenir la route mais le résultat final est quelque peu déroutant...

Etape n°1 : Déduire le PGCD de a et b :

Soit x = 180/a et y=180/b
x et y sont premiers entre eux, par conséquent, leur somme et leur produit le sont aussi :

PGCD (x+y,x*y)=1
or PGCD (x+y,x*y) = PGCD ( (180(a+b))/a*b), (180²) /a*b)) = PGCD (180*96, 180*180)/ab

Donc PGCD (180*96, 180*180)/ab = 1 et donc ab= PGCD (180*96, 180*180) = 2160

PGCD(a,b) = ab/PPCM(a,b) = 12

Etape n°2 : En déduire les couples a et b

Soit u=a/12 et v=b/12
u et v sont premiers entre eux.

De plus, uv=ab/(12*12)=15

Les couples u et v correspondant sont
u=1 ; v= 15 => a=12; b=180;
u=15 ; v=1 => a=180; b=12;
u=3 ; v=5; => a=36; b=60;
u=5 ; v=3; => a=60; b=36;

Problème : 180+12 = 192... par contre niveau ppcm c'est ok.
Et pour les autre couples c'est ok pour le ppcm comme pour la somme...
Le truc c'est que dès l'étape 1, j'utilise le fait que a+b=96... Alors comment ca se fait qu'à la fin j'ai des couples qui ne vérifient pas cette condition ???

Merci de m'aider !

++
Vengeur