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HippopotameLe 26/06/2011 à 19:46
VIII) Et pour une particule ou un système plus compliqués ?


Jusque là il était question d'une particule dans une boîte [0,1] => sa fonction d'onde vit dans L²([0,1]).


Si c'est une particule libre, dans un espace à 1 dimension, sa fonction d'onde est, c'est assez clair, un élément de L²(R).


Dans un espace à trois dimensions? => L²(R^3)




Imaginons maintenant qu'il y ait deux particules dans la boîte [0,1]. En mécanique classique, il faudrait un couple (x,y) € [0,1]² de coordonnées pour définir l'état du système. => En mécanique quantique, l'état du système est une fonction d'onde dans L²([0,1]²).


De façon générale, si U est l'espace des phases d'un système classique, alors l'espace des phases du système quantique correspondant est L²(U) : le système quantique est défini par une fonction d'onde qui est une densité de présence sur l'ensemble des états classiques possibles.




Autre exemple : une particule dans un espace à 1 dimension, qui a une charge électrique (=> un entier).
Quantiquement son espace des phases est L²(RxZ) : en méca classique il faut pour la définir un couple (position, charge) où position est un réel et charge un entier.


Un système de trois particules chargées qui se baladent dans l'espace? => L²( R^3 x Z x R^3 x Z x R^3 x Z ).




Un dernier exemple pour voir qu'il n'y a pas que la position n'est pas toujours importante : le qubit.

Un bit est un système classique qui a deux états : Haut et Bas (je fais exprès de ne pas écrire "0" et "1", pour ne pas confuser les calculs).

Donc l'espace des phases d'un bit est {Haut, Bas}.

=> L'espace des phases du qubit, l'équivalent quantique du bit, est L²({Haut, Bas}).
Cet espace est isomorphe à C², une base orthogonale étant (Haut,Bas).

L'état d'un qubit est donc une fonction d'onde 32196.png où a et b sont deux nombres complexes.

On normalise ψ, de sorte que |a|²+|b|²=1.

On dispose d'un opérateur "mesure du qubit" ; quand on fait la mesure on va trouver Haut avec une probabilité |a|² ou Bas avec une probabilité |b|² et la fonction d'onde va être ramenée à l'état pur (Haut ou Bas) correspondant.



Souvent, quand on a un système quantique très compliqué, on peut juste dire que l'espace des phases est un espace de Hilbert (donc de la forme L²(quelque chose) ), sans pouvoir expliciter le "quelque chose". Mais ça n'empêche pas qu'on puisse faire des calculs avec...






IX) Composition de systèmes

Dans cette partie, on a maintenant deux boîtes [0,1] et [2,3].



On appelle (E) le système : une particule dans la boîte [0,1].

On appelle (F) le système : une particule dans la boîte [2,3].

On appelle (E OU F) le système : une particule, qui se trouve soit dans la boîte [0,1] soit dans la boîte [2,3].

On appelle (E ET F) le système : une première particule dans la boîte [0,1] et une deuxième particule dans la boîte [2,3].


Voyons les espaces des phases :


- En mécanique classique

(E) => [0,1] (une coordonnée dans la première boîte)

(F) => [2,3] (une coordonnée dans la deuxième boîte)

(E OU F) => [0,1] U [2,3] (une coordonnée dans l'une des boîtes)

(E ET F) => [0,1] x [2,3] (un couple de coordonnées)


- En mécanique quantique

(E) => L²( [0,1] )

(F) => L²( [2,3] )

(E OU F) => L²( [0,1] U [2,3] )

(E ET F) => L²( [0,1] x [2,3] )


Or il se trouve que

L²( [0,1] U [2,3] ) = L²([0,1]) x L²([2,3]) où x est le produit scalaire

et que

L²( [0,1] x [2,3] ) = L²([0,1]) ⊗ L²([2,3]) où ⊗ est le produit tensoriel de deux espaces vectoriels.


Opérations sur les espaces des phases qui correspondant aux compositions de systèmes
ClassiqueQuantique
OUU
x ETx


On voit qu'un système quantique composé contient beaucoup plus d'information qu'un système classique équivalent. En effet, si dim A = n et dim B = m, alors dim AxB = n+m alors que dim A⊗B = nm.


Application aux qubits

On considère un système de deux qubits.
L'état du premier est une combinaison linéaire de Haut1 et Bas1, le second, des états Haut2 et Bas2.

Le système complet a alors pour état une combinaison linéaire32201.png .

Si jamais l'état du système est un produit tensoriel "état 1" ⊗ "état 2", c'est à dire32206.png , alors on peut dire que sans ambiguïté le premier qubit est dans l'état32207.png et le second est dans l'état32208.png .

Mais en général,32201.png ne peut pas s'écrire sous cette forme.

On dit alors que les deux qubits sont intriqués, chacun n'a pas un état indépendant de l'autre.

C'est grâce à l'intrication quantique que le système porte plus d'information que les deux qubits séparément.

C'est aussi grâce à ce phénomène que l'ordinateur quantique fait rêver : avec un système de seulement 100 qubits, on ferait des calculs dans un espace de dimension 2^100 = 1267650600228229401496703205376, autrement dit du calcul massivement parallèle.