Chaque quartier a sa personnalité propre, et est quasiment une ville différente.
En fait plus que l'arrondissement c'est le quartier qui est intéressant à connaître, mais il y a une correspondance approximative.
Les arrondissements forment une spirale. Les arrondissements 1 à 7~8 forment le centre de Paris, 9 à 20 la partie extérieure.

Après les quartiers, il y en a beaucoup et le découpage est arbitraire et personnel.
Par exemple les extérieurs désignent généralement juste le quartier latin, alors que ceux qui y habitent ou y vivent régulièrement le découpent en trois : Mouffetard, Saint-Michel, Saint-Germain.

Ma sélection personnelle des quartiers sympas (sans ordre particulier) :
Marais (3/4)
Mouffetard (5)
Montparnasse (jonction entre 6/14/15)
Châtelet-Halles (1)
Canal Saint-Martin (19)
République (10)
Bastille (11 surtout, un peu 12)
Saint-Germain (6)
Pigalle/Blanche (9/18)
Monceau (8/17)
Montmartre (18)
Butte aux cailles (13)
Convention (15)