Mais concrètement ça fuit par où ? C'est sûr que c'est pas juste un joint en sortie de boîte par exemple ?

S'il faut vraiment la changer (j'en doute un peu... ?), ça coûte environ £400 sur ebay.co.uk pour des kilométrages pas trop élevés.
https://www.ebay.co.uk/itm/BMW-MINI-ONE-COOPER-R50-R52-2004-2008-RARE-GETRAG-5-SPEED-GEARBOX-GS5-52BG/123668777127
https://www.ebay.co.uk/itm/BMW-Mini-Cooper-R50-BREAKING-GETRAG-GEAR-BOX-44-000-Miles/163086942323
Généralement parcel2go permet de livrer pas cher.

Quand au changement, il faut généralement commencer par vidanger (ça devrait être rapide dans ton cas ), ensuite retirer les cardans, selon les voitures faire un peu de place pour accéder aux vis de la boîte, débrancher l'embrayage, dévisser la cloche de boite du moteur et tirer dessus.
Et faire l'inverse pour en remettre une autre.

./66