Vous vous cresez la tete pour rien, la derivé de cette fonction est positive ( a priori x^4+1200x^2+200x est toujours positif , tu peux decomposer les deux cas avec les deux facteurs de ce polynome de signe contraire ou non et demontrer par l absurde, et il y a surement plus simple) ,

factorisation de la derive: (x*(x3+1200x+200))/x4)