Non j'ai dit que aleph_1 est le cardinal de l'ensemble de tous les ordinaux dénombrables

Ah oui tout à fait.



Bon ben alors on appelle P(R) l'ensemble des parties de R, et P_d(R) l'ensemble des parties dénombrables de R.

On considère la propriété (P) suivante :

(P) Pour toute fonction f : R -> P_d(R), il existe deux réels x et y tels que x n'appartient pas à f(y), et y n'appartient pas à f(x).





Discutons un peu (P).

Si on choisit un réel y, alors f(y) est une partie dénombrable de R, donc la probabilité qu'un réel x choisi au hasard appartienne à f(y) est 0. Donc la probabilité qu'un x n'appartienne pas à f(y) est 1.
De même, la probabilité qu'un y n'appartienne pas à f(x) est 1.

Par conséquent on a très fortement envie de penser que (P) est vraie, rien qu'en prenant x et y au hasard ça devrait marcher sans problème, quelque soit f.

Cependant on ne peut pas en faire une preuve rigoureuse, parce qu'il y a un endroit où ça coince. J'ai dit que pour y fixé, la probabilité qu'un x choisi au hasard appartienne à f(y) est 1. Par contre on ne peut pas dire que pour x fixé, la probabilité que x n'appartienne pas à f(y), y choisi au hasard, est 1, parce l'ensemble des y qui marchent peut ne pas être mesurable.


En fait (P) est une proposition indécidable dans ZFC. Néanmoins c'est une proposition indécidable mais raisonnable, qu'on ajouterait volontiers aux axiomes, alors que la négation de (P) est contre intuitive.



Or il se trouve que dans ZFC, (P) est exactement équivalent à la négation de l'hypothèse du continu (HC). En outre, la démonstration de cette équivalence est élémentaire.

Preuve :

1) Supposons que HC est vrai.
Alors ça veut dire qu'on peut indexer les nombres réels par les ordinaux dénombrables :
R = { x_0, x_1, ...., x_r, ... } avec r < omega_1.
Définissons alors la fonction f par f(x_i) = { x_j tels que j <= i }
f(x_i) est dénombrable parce que i est un ordinal dénombrable.
Supposons que x_i et x_j réalisent la propriété (P). Alors par construction i>j et j>i, c'est absurde. Donc f est un contre exemple à (P), et (P) est faux.

2) Supposons que HC est faux, et soit f : R -> P_d(R).
Alors soit A une partie de R de cardinal aleph_1. (Comme HC est faux, A est strictement plus petit que R).
Soit B la partie formée de la réunion de A, et de tous les f(a) pour a dans A.
B est une réunion de aleph_1 ensembles dénombrables, plus un ensemble de cardinal aleph_1, donc B est de cardinal aleph_1.
Donc B est différent de R, et on peut prendre un réel x qui n'est pas dans B. Comme f(x) est dénombrable alors que A ne l'est pas, il existe un y dans A qui n'est pas dans f(x).
Alors par construction, x n'est pas dans f(y) et y n'est pas dans f(x), on a montré que (P) est vrai.