Vengeur41 (./1) :
Soit d un entier naturel tel que d divise ab et d divise a+b : Si d divise ab, alors d divise soit a soit b.

Erreur. Contre-exemple: 6 divise 2*3, mais 6 ne divise ni 2, ni 3.
Il faut partir avec d premier pour pouvoir utiliser ce théorème.
(À part ça, le raisonnement va dans le bon sens.)

Alors comment ca se fait qu'à la fin j'ai des couples qui ne vérifient pas cette condition ???

Tu raisonnes par implication, pas par équivalence (en particulier, le théorème du 1. ne marche que dans un sens), donc tu as démontré que si a et b remplissent les 2 équations de départ, alors c'est une des quatre paires (a,b) que tu as trouvées. Mais tu n'as pas démontré que l'inverse est vrai! Donc il faut insérer les couples trouvés dans les équations de départ et jeter ceux qui ne vont pas, ce qui te laisse avec l'ensemble des solutions.