squalyl (./23) :
a mon avis, si un emsemble est un convexe "d'un seul tenant" son complémentaire ne l'est pas...

Faux, |R⁺ est convexe et connexe, mais son complémentaire aussi.

En revanche, si ton ensemble est convexe et borné, alors son complément ne sera effectivement pas convexe (il y aura un "trou" laissé par ton ensemble convexe, "plusieurs trous" s'il n'est pas connexe). Démonstration: Soit C ton ensemble, soit O un point de C. C est borné, donc il existe un cercle K de centre O tel que K et C sont disjoints (il suffit de prendre un rayon suffisamment grand). N'importe quel diamètre de K est un segment dont les bornes sont dans le complément de C, mais un point à l'intérieur (le point O) ne l'est pas => le complément de C n'est pas convexe.