./34 > bon déjà si tu prends le plan et que tu fais un trou dedans, ça fait un ensemble connexe mais non simplement connexe, et dont le complémentaire est également connexe, hein ^^
Ensuite j'ai pas d'exemple sous la main là maintenant de découpage du plan en deux connexes par arcs dont aucun n'est simplement connexe (et je ne sais pas/plus s'il en existe), mais on peut faire des découpages très très compliqués
Et encore ensuite, si tu n'es pas dans le cas particulier du plan, ce que tu dis est clairement faux (ie ça ne semble même pas intuitivement vraisemblable... dans l'espace par exemple ^^)

Edit : bon en fait on ne considère pas ici le plan mais la sphère, et le résultat serait : si l'on découpe une sphère en deux parties connexes par arcs, alors elles sont toutes deux simplement connexes. Mais bon je ne sais pas davantage si c'est vrai (par contre c'est faux si on enlève par arcs hein, parce qu'un espace non connexe par arcs ne peut pas être simplement connexe, et il existe des connexes non connexes par arcs dans le plan, et aussi dans la sphère bien sûr)