Ethaniel (./36) :
J’ai juste dit (et même demandé confirmation, plutôt) : si E est simplement connexe, alors E est connexe et E-barre est connexe.

Non. Par exemple, si tu prends E = une droite, E est simplement connexe mais E-barre pas connexe.

Par contre je pense que E et E barre connexes => E simplement connexe.
Mais attention ça demande vérification et c'est spécifique à la dimension 2.

Si tous les points des quatre côtés d'un rectangle sont dans l'ensemble, alors tout l'intérieur du rectangle est dans l'ensemble.

Traduction : l’ensemble est simplement connexe.

C'est une condition suffisante mais pas nécessaire.
Exemple : la couronne entre les cercles de centre O, de rayon 1 et 1+epsilon, vérifie la propriété des rectangles sans être simplement connexe.