Note sur « si j'ajoute à C un point à l'infini, omega, j'obtiens quelque chose qui a la topologie d'une sphère ». En fait je veux bien sûr dire que j'obtiens quelque chose à quoi je peux décider de donner la topologie d'une sphère (je pourrais aussi bien décider que je lui donne la topologie d'un plan avec un point extérieur au plan si je voulais, par contre ça servirait à rien). Pourquoi peux-je le faire ? Il suffit de voir qu'un plan est homéomorphe à une sphère privée d'un point, et un homéomorphisme possible est la projection stéréographique :
Tu prends une sphère de rayon 1/2 et de centre (0,0,1/2), et tu lui retires le pôle nord (0,0,1). Ensuite tu projettes tous les autres points de la sphère sur le plan de cote 0 dans la direction donnée par la droite passant par le pôle nord et ce point. Cette projection est un homéomorphisme, c'est-à-dire que c'est une bijection entre la sphère privée du pôle nord et le plan, qu'elle est continue, et que sa réciproque est également continue. (Mais évidemment ce n'est pas une isométrie, d'où ma remarque sur les distances).

Quand tu ajoutes un point à l'infini à l'ensemble des complexes, en gros ça revient à prendre cette projection et décider de la prolonger en définissant une image du pôle nord (elle n'est pas dans le plan, elle est "à l'infini" dans toutes les directions à la fois)