Reprenons.
L'ensemble de Mandelbrot est défini dans C, ensemble des nombres complexes, qui est topologiquement un plan. L'idée est que si j'ajoute à C un point à l'infini, omega, j'obtiens quelque chose qui a la topologie d'une sphère (mais attention : la distance usuelle sur C ne s'étend pas à l'espace "C union {omega}" — une distance ne peut pas être infinie. On peut bien sûr définir une distance sur une sphère pour en faire un espace métrique, mais ça ne sera pas la même).
Maintenant pour l'algorithme, l'hypothèse qu'on utilise est que le complémentaire du Mandelbrot dans C union {omega} est simplement connexe. Ainsi tu traces un rectangle dans C, ce rectangle est aussi une partie de la sphère C union {omega}, et il ne contient pas omega. Comme il coupe la sphère en deux parties (plus lui), omega est sur une de ces deux parties. La connexité simple me dit qu'au moins une des deux parties est complètement hors du Mandelbrot, soit c'est celle qui contient omega, soit c'est celle qui ne le contient pas. Et maintenant je peux retirer le point omega à nouveau, j'ai un plan et je sais que soit l'extérieur soit l'intérieur du rectangle est entièrement hors du Mandelbrot.
Mais sinon l'espace topologique qu'est une sphère n'a bien sûr strictement aucun point plus particulier que les autres (c'est-à-dire que quels que soient les points A et B que tu prends il existe un homéomorphisme de la sphère qui envoie A sur B... je ne sais plus si cette propriété a un nom). C'est juste que je considérais implicitement le cas particulier de la sphère C union {omega} (qui par définition a un point omega
)