Moi j'ai appris l'exponentielle comme étant la bijection réciproque de la fonction ln (logarithme népérien).
On ne nous a pas indiqué d'utilité à la fonction exponentielle, mais j'ai remarqué qu'elle était souvent utilisée en électronique pour calculer des temps de charge de condensateur par exemple.
Par contre, la fonction ln est très intéressante, elle a été créée pour simplifier les calculs : avant, quand on ne disposait pas de calculatrice (ça devait être vers le XVIII ème siècle), on ne pouvait pas faire de calculs avec des trops grands nombres parce que ça devenait bien trop compliqué, surtout pour les multiplications. Donc Néper à trouvé une fonction qui a cette propriété : ln(a*b)=ln(a) + ln(b). Ce qui permettait aux scientifiques de transformer une multiplication en addition !
C'est ça l'origine de la fonction ln.
Pour revenir à la fonction exponentielle, elle a une propriété très intéressante, c'est que sa dérivée est égale à elle-même, donc par exemple,la dérivée de e^(2x), c'est 2e^(2x). En nommant la fonction exponentielle "f", on a des équations du style : f'(a*x)=a*f(a*x) (équivalent à : e^(a*x)=a*e^(a*x)), c'est ce qu'on appelle une équation différentielle, parce qu'on a f' et f dans la même expression.
L'utilité des équations différentielle, on ne m'en a pas vraiment parlé ou alors j'ai oublié, mais j'ai remarqué qu'en électronique, on en utilisait aussi (j'ai fait un parcours STI électronique)...
La but d'une équation différentielle est de trouver la fonction f.
Exemple : f' - 4f = 0
<=> f' = 4f
On reconnait la forme citée plus haut, donc f(x) = e^(4x).
On vérifie en dérivant f(x) : f'(x) = 4*e^(4x). On a bien f' = 4f