Sinon tu as juste besoin de savoir que exponentielle c'est une fonction très marrante qui quand tu la dérive t'obtiens elle-même ^^
donc (e^x)' = e^x
et donc (e^f(x))' = f'(x).e^f(x)
c'est donc pratique pour les équa diff car les équa diff sont des relations à vérifier entre des fonctions et leurs dérivées, comme ces dérivées sont "proches" des fonctions.
sinon une fois que tu as compris ça, en terminale on te demande rien d'autre que d'appliquer, t'as pas besoin de savoir pourquoi mais:
y'+ay+b = 0 <=> y = K.e^(-ax) - b/a où K est une constante réelle
et d'autres formules (je sais pas ce que vous devez savoir vu que j'ai pas le cours)
c pareil pour cos et sin tu remarques que si tu les dérives, tu obtiendras de nouveau des sin et des cos, c'est pour ça que ces fonctions apparaissent dans les solutions d'équations différentielles.
Bon c'est très intuitif et pas très rigoureux (telchar, Kevin Kofler, Moumou, Sally, et les autres: pas taper) mais j'espère que ça te fera un peu mieux comprendre.
[Edit: un oubli]