le représentant positif de la classe d'équivalence que tu viens de décrire.

Je n'ai pas décrit de classe d'équivalence...

Sinon ça fout la merde avec les pgcd

Dont la définition n'a rien à voir avec les nombres premiers...
Dans un anneau principal, le Pgcd n'est effectivement qu'à multiplication par un élément de A* près. Dans Z ou k[X] on définit un Pgcd normalisé en prenant l'unique pgcd dans N, ou dans l'ensemble des polynômes unitaire U {0}.

la fonction indicatrice d'Euler

Sa définition ne fait pas non plus intervenir les nombres premiers...

On a un sous-ensemble de Z parfaitement canonique et stable par tout plein de trucs qui définit un représentant de la classe d'équivalence, alors autant l'utiliser.

Bon, cela dit c vrai que le résultat subsiste avec N nombre premier sur Z, puisque le polynôme change de signe au plus deux fois, donc asymptotiquement, le signe est constant (et on peut donc le supposer positif).

Suffit de considérer le polynôme décalé P'(X) = P(X-alpha), tel que P'(0)=0, ou bien de remplacer P(0) par P(k), k grand, dans la démonstration