HippopoDrame
:

le représentant positif de la classe d'équivalence que tu viens de décrire.

Je n'ai pas décrit de classe d'équivalence...

Sinon ça fout la merde avec les pgcd

Dont la définition n'a rien à voir avec les nombres premiers... Dans un anneau principal, le Pgcd n'est effectivement qu'à multiplication par un élément de A* près. Dans Z ou k[X] on définit un Pgcd normalisé en prenant l'unique pgcd dans N, ou dans l'ensemble des polynômes unitaire U {0}.

Je parle de la classe d'équivalence trivialement induite par (a R a') <=> (aA = a'A) que tes propos amènent naturellement à considérer (i.e. on considère les classes de l'ensemble quotient A/A*), d'abord parce que tu ne définis la propriété "a premier" que relativement à l'idéal aA et jamais par rapport à a en particulier, et ensuite parce que :

a est premier dans A <=> dans A/A*, card(diviseurs(a))=2

la fonction indicatrice d'Euler

Sa définition ne fait pas non plus intervenir les nombres premiers...

Bon, c'est sûr que c'est spécifique à N et pas à un anneau intègre qq. Mais elle permet de définir les nbs premiers aussi, sur N. Et on ne peut pas la généraliser de manière utile à Z, sauf en rajoutant des valeurs absolues partout (ce qui n'a vraiment aucun intérêt).

On a un sous-ensemble de Z parfaitement canonique et stable par tout plein de trucs qui définit un représentant de la classe d'équivalence, alors autant l'utiliser.

Je parlais de N
Bah oui, N a plein de propriétés de stabilité (qu'on ne retrouve pas dans K[X]/U, notamment au niveau additivité), qui font que la définition de premier sur N est souvent restreinte aux nombres positifs.

Bon, cela dit c vrai que le résultat subsiste avec N nombre premier sur Z, puisque le polynôme change de signe au plus deux fois, donc asymptotiquement, le signe est constant (et on peut donc le supposer positif).

Suffit de considérer le polynôme décalé P'(X) = P(X-alpha), tel que P'(0)=0

Oui mais le signe peut encore changer une fois, là

ou bien de remplacer P(0) par P(k), k grand, dans la démonstration

Oui, c'est ce que j'avais en tête.