(enfin ça a commencé avec les grecs). Je la résume (sissi c'est un résumé 
) :En fait ce qui se passe c'est que dans une note résonnent aussi ses harmoniques (enfin sauf si c'est un signal sinusoïdal pur mais bon), et surtout les premières¹. Par conséquent deux notes vont d'autant « mieux ensemble » qu'elles sont soit harmoniques (donc avec un rapport entier petit) l'une de l'autre soit deux harmoniques d'une même troisième (d'ailleurs si tu joues suffisamment d'harmoniques d'une même note à la fois, on entend la fondamentale) ; et on appelle ça un intervalle consonnant. Si au contraire tes deux notes ont un rapport compliqué (irrationnel, ou gros dénominateur) ça va dissonner.
Et bon donc peut-être qu'il y a une explication physiologique précise à tout ça mais moi ça me paraissait déjà assez naturel en pensant en termes de séries de Fourier et d'interférences : si tes deux notes sont dans un rapport avec petit dénominateur, leur superposition est encore une série de Fourier simple, par contre si le rapport a un grand dénominateur ça va te créer des artefacts et le son résultant sera beaucoup moins pur. Surtout si ton intervalle est en fait presque un rapport simple.
Donc les intervalles fondamentaux vont t'être donnés par la suite des harmoniques : l'octave (rapport 2), la quinte (3/2), la quarte (4/3), la tierce majeure (5/4), la tierce mineure (6/5).
La raison pour laquelle on ne va pas plus loin (en particulier on n'utilise pas 7... du moins pas pour définir la gamme, certains instruments comme les cuivres sans pistons ne peuvent jouer que des harmoniques et utilisent bien sûr la 7 entre autres) est à mon avis (j'ai pas de source à ce sujet ^^) qu'après cela la différence entre deux intervalles consécutifs devient trop faible : 7/6 ça donne une « petite » tierce mineure qui diffère peu de la tierce 6/5 (il y a un rapport 36/35 entre les deux), alors certes c'est pas un rapport qui sonne vraiment faux, mais 6/5 est très proche et sonne mieux, donc bon. (Par contre l'harmonique 11 sonne vraiment faux parce que 11/8 est à la fois trop proche et trop loin de 4/3 (ça fait 33/32), donc on a l'impression d'entendre une quarte fausse. Aux instruments à harmoniques on essaie de truquer le son si on doit vraiment utiliser l'harmonique 11 ^^)
Ensuite, tu construis les autres intervalles par des combinaisons de deux intervalles fondamentaux : la sixte majeure c'est quarte+tierce M (5/3), etc. ; en particulier tu obtiens le ton par une quinte moins une quarte (9/8), et le demi-ton diatonique par une quarte moins une tierce majeure — ou bien moins deux tons dans la gamme pythagoricienne, et c'est là que les problèmes commencent.
L'idée de la gamme pythagoricienne c'est de partir uniquement de l'intervalle le plus consonnant (la quinte) et de construire la gamme en partant d'une fondamentale et en montant ou descendant de quinte en quinte modulo une octave (bon évidemment ça marche exactement pareil avec des quartes en échangeant monter et descendre). Si tu pars de fa, tu as d'abord la quinte do, puis tu vas monter de ton en ton successivement dans la moitié (ou tétracorde
) inférieure et la moitié supérieure : sol, ré, la, mi, si. Et là tu constates que tu as recouvert toutes l'octave avec des intervalles inférieurs à un ton : 5 tons (trois et deux) et deux demi-tons diatoniques. Ça te donne les sept notes traditionnelles, et comme c'est une construction vraiment simple ça me semble relativement canonique. C'est sur ces sept notes que sont définis les modes grecs. Bon et elles ne correspondaient pas forcément à des fréquences précises, en fait si tu voulais chanter en mode de ré, tu commençais à la note que tu voulais et tu décidais que c'était un ré.Mais après peut se poser la question de la modulation (changement de mode). Tu pars d'une note que tu appelles ré, et puis mettons qu'à un moment tu veuilles passer dans un autre mode, par exemple do, mais en gardant la même note fondamentale ; ou encore que tu veuilles rester en mode de ré mais en le transposant sur une autre note fondamentale. Ça semble relativement naturel de vouloir faire ça, c'est plus varié. Alors tu pourrais changer les notes de nom, ça ça va à la voix, mais sur un instrument tu ne va pas changer l'accord en plein milieu d'un truc pour passer dans un autre mode. Du coup c'est pratique d'avoir plus de notes et tu crées les altérations : en montant de quinte en quinte à partir du si, tu obtiens fa#, do#, sol# etc., et en descendant à partir du fa, sib, mib, lab etc. Ça te permet d'avoir les intervalles correspondant à un mode à partir d'une autre note que sa fondamentale.
Par contre tu t'aperçois que lab est différent de sol#, d'un intervalle qu'on appelle comma pythagoricien, mais en fait c'est pas fondamentalement gênant : jusqu'à assez récemment il était franchement rare d'avoir besoin de plus de trois dièses et deux bémols (et puis même si tu veux trois bémols c'est tout à fait envisageable d'avoir un instrument qui peut faire le sol# *et* le lab, pourquoi pas... un instrument² capable de faire *toutes* les 14 altérations, ça serait chiant à faire, mais on n'en a pas vraiment besoin). Bref c'est pas un très gros problème en fait. Du moins à une époque ça ne l'était pas.
Alors ensuite le nombre 53 vient du fait que 84/53 approche extrêmement bien ln 3/ln 2 (c'est à genre 10-4 près). Du coup cette gamme pythagoricienne peut être facilement définie en utilisant des fractions de 1/53 octave (nombre qui approche le comma pythagoricien à 12epsilon près où epsilon est l'erreur précédente), un ton vaut 9 commas, un demi-ton 4 commas. Et en prime, 70/53 approche remarquablement bien ln 5/ln 2 ! (un peu moins bien certes mais bon). Donc ce système de division d'une octave en 53 parts égales permet aussi de définir la tierce majeure, à 17 commas.
Et là on voit le gros défaut du système pythagoricien, qui a conduit à l'abandonner : la tierce majeure y est approchée par deux tons, ce qui fait 18 commas et non 17. Un comma de différence, c'est beaucoup : la tierce pythagoricienne sonne un peu faux.
Alors il y a une solution (qui me semble toujours plutôt canonique ^^) qui consiste à faire des tons de taille différentes : un ton majeur à 9 commas et un ton mineur à 8 commas. Donc dans la gamme de do on mettrait d'abord un ton majeur, puis un ton mineur, puis un demi-ton "diatonique" (qui fait en fait la taille du demi-ton chromatique pythagoricien), un ton majeur, et dans le deuxième tétracorde un ton mineur, un ton majeur, un demi-ton. Donc en gros les demi-tons font un comma de plus et deux des cinq tons font un comma de moins. Comme ça ça fait des intervalles plus justes par rapport à la tonique et aussi à la dominante et à la médiante, qui sont les notes principales (données par les harmoniques 3 et 5), mais par contre on voit que si on part de la sus-tonique (le ré, harmonique 9, quinte de la quinte) ça devient foireux : la quinte ré-la a deux tons mineurs, donc elle est un comma trop petite ! du coup cette gamme ne permet pas de changer de tonalité comme on veut ni même de jouer tous les intervalles apparaissant dans la gamme, c'est très limitant (un comma de différence sur une quinte c'est « pire » que sur une tierce, parce que la quinte est un intervalle plus fondamental et la tolérance est plus faible. Enfin, c'est moi qui l'invente ça, mais bon ça me semble vrai ^^).
Du coup l'idée naturelle, si on veut que tous les intervalles entre deux notes quelconques de la gamme sonnent juste (bon on peut pas éviter le triton mais c'est un cas particulier
), c'est de faire un compromis (un "hack" si tu veux mais bon ça reste une idée naturelle ) entre la justesse des quintes et celle des tierces. Par exemple tu diminues la quinte d'un quart de comma et les tierces deviennent justes, ou si tu veux un truc plus équilibré, tu diminues la quinte d'un cinquième de comma et les tierces ne sont plus qu'un cinquième de comma trop grandes. Donc tout est un peu faux mais rien n'est très faux. Ou encore, tu considères que la tolérance est plus grande sur la justesse des tierces, et donc tu retires un sixième de comma seulement aux quintes, ce qui donnent des tierces un tiers de comma trop grandes (ou trop petites dans le cas des tierces mineures). Tout ça me semble toujours très canonique (surtout le cinquième de comma ^^).La dernière possibilité, qui est intéressante pour une autre raison, est le tempérament égal, qui consiste à retirer seulement un douzième de comma aux quintes, c'est pas vraiment top parce que les tierces sont toujours fausses de deux tiers de comma ce qui reste assez grand, mais c'est toujours mieux que la gamme pythagoricienne et ça a l'avantage technique que ça identifie les dièses et les bémols et donc ça réduit le nombre de notes différentes à 12 au lieu de 21 (voire plus si on va chercher des doubles altérations, mettons 25, ptêt 30 à la limite). Mais bon celui-là est quand même un peu plus un hack, parce qu'en réalité le comma syntonique (différence entre une tierce majeure parfaite et deux tons parfaits) et le comma ditonique ou pythagoricien (différence entre sol# et lab) ne sont pas tout à fait égaux, et la raison pour laquelle on veut se débarrasser du comma ditonique est purement un problème technique, pas spécialement canonique...
Bon et après les tempéraments inégaux ça consiste à faire des compromis entre l'égalité de tous les intervalles de même nature et la gamme "naturelle" avec le ton majeur et le ton mineur, pour pouvoir jouer dans toutes les tonalités (aucun intervalle très faux) mais en ayant des intervalles plus purs que d'autres (lesquels le sont dépendant de la tonalité), et là ça devient de la création artistique ^^
¹Évidemment ça dépend du timbre de l'instrument, un truc comme une cloche « sonne faux » parce que ça sort pas du tout une belle série de Fourier mais un signal beaucoup plus compliqué, mais bon en général ^^
²Je veux dire un instrument à nombre limité de notes, typiquement un clavier, bien sûr ^^ à la voix c'est pas dur de faire toutes les notes, par exemple
, avec un instrument à cordes sans frettes aussi, et avec un instrument à vent tu peux avoir seulement 12 doigtés et faire la différence entre par exemple sol# et lab à la bouche, il y a en général suffisamment de flexibilité pour ça.