(avec la bienveillante autorisation de smeet)

kim (./101) :
./99 : et si tu te places dans une géométrie non euclidienne type demi plan de poincaré, sachant que deux droites parallèles peuvent se couper en un seul point, est-ce qu'il ne serait pas possible d'y définir des structures non bornées finies ? Genre sur le disque de poincaré une droite pourrait très bien définir un cercle. Une droite n'est a fortiori pas bornée si on garde la définition "normale" de la droite, et pourtant elle est finie.

Une droite du plan de poincaré est infinie (elle a une infinité de points).
La droite dans le demi plan de Poincaré n'est pas bornée (pour la métrique de Poincaré bien sûr), elle a une longueur infinie.


De toute façon on démontre que tout espace métrique fini est forcément borné :
Soit E un espace métrique fini, dont la distance est notée d.
Les paires (x,y) de points de E sont en nombre fini, donc les distances d(x,y) possibles entre les points de E sont aussi en nombre fini. Donc ces distances ont un maximum M.
Donc pour tous points x et y de E on a d(x,y)<=M
Donc E est borné.