Blocage sur un exo d'arithmetique - Page 1

Salut à tous...
D'habitude j'ai pas trop de problèmes en arithmetique mais là, j'ai un gros blocage...
Je vous donne l'énoncé :

"Trouver tous les couples d'entiers naturels dont la somme est multiple du produit"...

Sympathique non ?
Déjà, juste "comme ca", à part (2;2) et (1;1) jvois rien...

J'ai essayé de partir sur des congruences mais ca me parait pas être ca...

Je ne sais donc pas d'ou partir.

Merci de votre aide !

++Vengeur41

On va voir si j'ai pas trop perdu.
On a p+q=k*p*q
On a p divise p+q, donc p divise q.
On a q divise p+q, donc q divise p.
p divise q et q divise p d'où p=q
A partir de là, je te laisse faire.

J'étais parti un peu comme ca mais ca marchait pas... D'ailleurs on peut essayer avec le couple
(4;4), 8 n'est pas multiple de 16... par contre 16 est multiple de 8... et encore c'est un cas particulier...

Si on prend (7;7), 14 n'est pas multiple de 49 et d'ailleurs 49 n'est pas non plus multiple de 14...
Je vais continuer à réfléchir...

PpHd> ça doit être une condition nécessaire ça, mais pas suffisante. chais pas du tout #honte#

oui, d'où le "je te laisse faire" c'est déjà plus facile de trouver quels sont les (p,q) qui satisfont l'énoncé quand on sait que nécessairement p=q ^^

Bon je finis.
p+q=k*p*q ==> 2*p=k*p^2

Soit p=0,
Soit 2=k*p
Seul k=1 ou 2 sont possibles. Et on a p=1 ou 2.

Oops j'avais pas compris le "c'est à toi de finir" dans ce sens...

Quoi qu'il en soit, comme ca, juste ne regardant, je ne comprends pas la fin de ta démonstration... Je regarderai plus en détail plus tard

PpHd (./2) :
On va voir si j'ai pas trop perdu.
On a p+q=k*p*q
On a p divise p+q, donc p divise q.On a q divise p+q, donc q divise p.

Je ne suis pas d'accord
Quand a divise b, ça ne signifie pas que a divise deux nombres dont la somme vaut b.

Exemple : b=12 et a=3 et on prend b=5+7

12
--- est bien dans Z.
3

Par contre,
5
- n'est pas dans Z, ni 7/3
3


Ou bien je n'ai pas saisi l'astuce du raisonnement que tu fais.

p divise q ssi p divise p+q
(q=kp <=> p+q=(k-1)p)

Thibaut (./8) :
Quand a divise b, ça ne signifie pas que a divise deux nombres dont la somme vaut b.

Oui. Mais là on a 'a' qui divise 'a+b'. Pas 'a' qui divise 'b+c'.

Vengeur41 (./7) :
Quoi qu'il en soit, comme ca, juste ne regardant, je ne comprends pas la fin de ta démonstration... Je regarderai plus en détail plus tard

Il y a pas 36 entiers naturels dont le produit fait 2.

J'ai du mal à comprendre comment tu passe de

p+q=k*p*q ==> 2*p=k*p^2

à ca :

Soit p=0,
Soit 2=k*p

Je laisse les autres répondre.

soit p=0, auquel cas tu as bien 2p=kp²
soit p != 0, auquel cas tu peux diviser des deux côtés par p
et donc tu as 2p/p=2 = kp²/p = kp
donc, 2=kp ou p=0
etc.

Ok merci de vos réponses

Donc les 3 couples sont (0;0), (1;1), (2;2)

c'est frustrant cet exo. j'attendais des résultats plus droles moi

Eh bien pour les frustrés, je bloque sur un autre exo... en fait ces derrniers temps je bloque un exo sur 3 ce qui est assez genant....

Soit n un entier naturel :

1. Démontrez que n²+5n+4 et n²+3n+2 sont divisible par n+1.
>> Bon là c'est facile... :
Pour n=-1 n²+5n+4=0 donc n²+5n+4=(n+1)(n+4) et (n+4) appartient à Z
Pour n=-1, n²+3n+2=0 donc n²+3n+2=(n+1)(n+2) et (n+2) appartient à Z

2. Déterminez l'ensemble des valeurs de n pour lesquelles 3n²+15n+19 est divisible par (n+1)
>> Là je coince...
Bon déjà 3n²+15n+19 n'a pas de racine réelle donc n'est pas factorisable...
Alors j'ai essayé de trouver n tel que 3n²+15n+19=k(n+1) et k € Z
Mais on a toujours un k qui traine...
A la rigueur on a 3n²+15+19=3(n+1)(n+4)+7 mais ca m'avance pas plus.

3. En déduire que, quel que soit n, 3n²+15n+19 n'est pas divisible par n²+3n+2
>>> Ouais bon si je fais pas la 2 celle là j'y arriverai pas...

Voilà, merci d'avance de votre aide !

A la rigueur on a 3n²+15+19=3(n+1)(n+4)+7 mais ca m'avance pas plus.

C'est bien de cette égalité que vient la solution. Est ce que le terme de droite est divisible par n+1 ?

3. En déduire que, quel que soit n, 3n²+15n+19 n'est pas divisible par n²+3n+2

n²+3n+2=(n+1)(n+2)
Donc pour être divisible par n²+3n+2, il faut être divisible par quoi et quoi?

2-
Le terme de droite ? Euh non... Sauf si 7 est divisible par n+1...
Euh et vu que 7 est divisible par 7 et 1 dans n, alors les valeurs de n possible sont n=0 et n=6.
C'est ca ?

3- Euh par n+1 et par n+2 ?
Et donc 3n²+15n+19 n'est donc pas divisible par n²+3n+2 que pour cette raison là ?
Parce qu'il peut y'avori des cas particulier justement, comme a la question 2...

2- oui

3- ben justement, quels sont ces cas particuliers?

n=0 et n=6... Et donc meme là, 3n²+15n+19 n'est pas divisible par n+2...
Mais y'a p-e des cas particuliers ou 3n²+15n+19 est divisible par n+2 ?

Pour être divisible par n²+3n+2, il *faut* au moins être divisible par n+1.
Donc si tu vois que ce n'est pas possible que 3n²+15n+19 soit divisible par n+1, c'est fini... Peut être qu'il y a des cas où c'est divisible par n+2, mais ça ne suffira pas à rendre le nombre 3n²+15n+19 divisible par n²+3n+2...

En effet
Merci de ton aide !

Vous allez rire, j'ai encore un problème

"Les mesures d'un triangle rectangle sont des entiers a,b,c tels que a<b<c"

1. Démontrez que au moins un des 3 nombres est pair :
>> Facile : On admet dans un premiers temps qu'ils sont tous impairs.
Dans ce cas, a, b, et sont tous congrus à 1 modulo 2.
or c² est congru à un modulo 2 et a²+b² est congru à 0 modulo 2.
Vu que c²=a²+b², on voit bien que c'est impossible !
Donc l'un des nombres est pair.

2. Démontrez que au moins un des trois nombres des divisible par 3 :
>> Bon, alors on pose c non divisible par 3.
Dans ce cas là, c est congru à 1 ou 2 modulo 3.
Si c est congru à 1 modulo 2, c² est congru à 1.
Donc a²+b² est congru à 1 et par suite, l'un des 2 est congru à 0.
De meme, si c est congru à 2, c² est congru à 1 et on retrouve
les resultats précédents.
Donc il y'a toujours au moins un nombre divisible par 3.

Je suis pas trop sur de cette démonstration...

La suivante: (j'y ai bcp de mal)

3. Démontrez que l'un au moins des nombres a,b,c est divisible par 4...
>>> Euhm... Mouais.
Jvoulais partir dans le meme genre de truc que pour 3.
Dans ce cas là, c est congru à 1,2,ou 3.
Si c est congru à 1 ou 3, pas de problème, on a c² congru à 1 et
on retrouve les resultats de la question précédente (en admettant qu'elle soit juste... j'ai quelques raisons de douter...).
c'est à dire que a ou b est divisible par 4.
Or si c est congru à 2, alors c² est congru à 0 modulo 4 (c² divisible par 4)...
Et là : coincé !
a²+b² est divisible par 4 mais rien ne nous prouve que l'un des 2 est divisible par 4.
On peut avoir a congru à 2 et b congru à 2 aussi, aucun des 2
n'est donc divisible par 4 mais on retrouve bien a²+b² divisible par 4... et c n'est pas divisbke par 4...
Donc le contraire de ce qu'on doit démontrer...

Je pensais pas en prenant la spe math que ce serait si dur
Je précise que ce sont des exos d'entrainement que je fais par moi meme, je ne vous demande pas donc les réponses d'un quelquonque DM ...

Edit : En fait ma démonstration 2. est fausse...
Si a² est congru à 0 modulo n, rien ne nous prouve que c'est le cas de a...
J'ai réfléchi à plusieurs moyens de partir mais je trouve pas...
J'essaie avec les congruences mais ca marche pas.
A la rigueur on peut faire dans l'autre sens : si a et b ne sont pas divisibles par 3 azlors a congru a 1 ou 2 modulo 3, de meme pour b...
Mais on arrive alors à des trucs genre :
Si a congru à 1 et b aussi, alors
a²+b² est congru à 2 modulo 3 et donc
c² congru à 2 modulo 3...
Mais pas moyen de se ramener à c...

Re-edit : En fait, si... Si on a a congru à 1 (mod 3) alors a² aussi, de meme pour 0. Mais si a est congru a 2 alors a² est congru à 1. Donc c'est bon