Une dynamique interurbaine de personnes montre la suivante matrice de transition de Markov pour habitants urbains, suburbains et rural:
__________ Urbain___Suburb____agricole
Urbain...........a............... b............... y
Suburbain......o............... q............... z
rural........... 1-a-o......... 1-b-q...........1-y-z
a=0,9
o=0,05
b=0,1
q=0,7
y=0,1
z=0,1
Résoudre le problème en sachant que le vecteur réponse aujourd'hui est
Uo......... 10
(SUo) = (40)
Ro...........50
Quel le vecteur réponse dans t=2 et quel est le vecteur réponse dans un long terme.
Ut
Rappellez que (SUt) = Aβ1^tX1 + Bβ2^tX2 + Cβ3^tX3
Rt
Doute:
Le vecteur
Uo 10
X = SUo = 40
Ro 50
est le même que X = (10 40 50) ?
Un vecteur peut s'écrire en ligne ou en colonne, et ça dépend de la formule quelle orientation est la bonne. En général, par convention, on écrit juste X pour le vecteur en colonne et Xt pour le vecteur en ligne, mais parfois on trouve des formules où l'auteur n'a pas fait attention à ça. Si tu veux faire un produit vecteur*matrice, il te faut le vecteur en ligne, si tu veux faire un produit matrice*vecteur (l'écriture habituelle pour les transformations), il te le faut en colonne.
comment on calcule
....................0,1..-0,05 -0,05
[q1 q2 q3] x -0,7...1........ -0,3 = [ 0 0 0 ]
....................-0,8.. 0....... 0,8
Sachant que q1 + q2 + q3 = 1
J'ai trouver cette reponse en t=2:
X^0 = [ 10 40 50 ]
X^1 = [ 10 40 50 ] x M =...13,5...39....45
.......0,9......0,1.....0,1
M = 0,05........0,7.....0,1
.......0,05.....0,2.....0,8
X^2 = [ 10 40 50 ] x m² = 16,35........37,65.........41,25
U²= 16
S²= 37
R²= 41
Si X = infinie
J'ai besoin de faire le calcule:
[q1 q2 q3] x [I-M] = [000]
sachang q1+q2+q3=1. Comment faire?
Ben, tu calcules I-M et tu te retrouves avec un système d'équations sous forme de matrice. Si tu ne comprends pas, tu effectues la multiplication vecteur-matrice en gardant q1, q2 et q3 en lettres, tu te retrouves avec 2 vecteurs, un qui contient des q1, q2 et q3 et un constant et ensuite tu compares coordonnée par coordonnée pour avoir les 3 équations. Ce système est homogène (c'est-à-dire que les termes constants, c'est-à-dire la partie droite, sont tous nuls), donc il est soluble (en particulier, [0 0 0] est solution, mais cette solution est triviale et totalement sans intérêt). Si le système a aussi une solution non-triviale, il a donc au moins 2 solutions, et il a donc une infinité de solutions. (C'est une propriété des systèmes linéaires.) L'équation supplémentaire q1+q2+q3 résout cette ambiguïté et te donne une solution unique à ton système, celle qui t'intéresse. (D'ailleurs, si tu travailles avec des %, c'est q1+q2+q3=100, si tu travailles avec des proportions sans unité, alors tu devrais aussi mettre X=[0,1 0,4 0,5] pour être cohérent.) Tu remarqueras d'ailleurs que l'infinité des solutions que tu obtiens sans la quatrième équation est de la forme [k*q1 k*q2 k*q3], la quatrième équation te fixe ce facteur k.
REPONSE:
[Q1 Q2 Q3] X [I - M] = 0
[Q1 Q2 Q3] X
+0,10 -0,10 -0,10
-0,05 +0,30 -0,10
-0,05 -0,20 +0,20
= 0 0 0
en faisant la substituition, on obtient:
Q1 = Q2
Q3 = 1 - 2 q2
0,1q1 -0,05q2 - 0,05(1-2q1)=0
q1 = 0,05
q2 = 0,05
q3 = 0,90
Donc: T= infinie
U=5%
S=5%
R=90%
ok?
je trouve que j'ai raté t=0 et t=1,2 parceque la somme de la ligne est plus que 100%...
qu'est qui vas pas?
non... excusez moi,t1 t2 c'est correct!! la somme est en unites, pas en %!!
Tu ne peux pas utiliser Cramer sur un système qui n'a pas une solution unique.
Comme tes 3 équations ont une infinité de solutions, 2 des 3 équations suffisent pour déterminer ces solutions, donc tu prends les 2 premières, tu rajoutes ton équation supplémentaire:
0,1q1 - 0,05q2 -0,05q3 =0
-0,1q1 + 0,3q2 - 0,2q3 = 0
1q1 + 1q2 + 1q3 = 1
et maintenant tu peux utiliser Cramer. Mais ce n'est en général pas la méthode la plus efficace pour résoudre un système d'équations.