Diagonalisation de matrice - Page 1

Je me fait un petit programme de diagonalisation de matrice à N dimensions mais je n'arrive pas à comprendre comment sortir la matrice de passage.

mar exemple j'ai une matrice m=[[2,3][4,1]], la diagonalisation me donne m'=[[-2,0][0,5]]
par le calcul a la main j'ai p=[[3,-4][1,1]] comme matrice de passage mais comment l'obtenir? avec la onction simult() j'ai l'erreur "singular matrix"

ca donne des résultats approchés alors que je voudrais des resultats exacts

Ca se fait comment une "diagonalisation de matrice", et ça sert à quoi ?

ca sert a améliorer la vitesse de calcul d'une matrice avec la formule A' = P^-1*A*P ou A est la matrice de départ, A' sa diagonalisation, P la matrice de passage et P^-1 l'inverse de P

J'ai rien compris

>> ca sert a améliorer la vitesse de calcul d'une matrice
Parcequ'on peut calculer des matrices !? ça consiste en quoi ?

Et c'est quoi une matrice de passage ?
Et l'inverse d'une matrice ?

essaie de calculer A^n avec A=[[2,2,1][2,2,1][1,1,5]] (par exemple).
ca mettra un certain temps si n est élevé.

diagonaliser cette matrice revient a l'ecrire sous la forme [[L1,0,0][0,L2,0][0,0,L3]] avec L1,L2,L3 les valeurs propres de la matrice

Pour obtenir les valeurs propres d'une matrice tu fait diag(zeros(det(A-L*Identity(3)),l))
Dans mon exemple ca donne A'=[[6,0,0][0,3,0][0,0,0]] (ou [[0,0,0][0,3,0][0,0,6]])

Pour calculer les matrices de passage il faut trouver l'espace propre aux valeurs propres de la matrice en resolvant
A*[[x][y][z]] = L1*[[x][y][z]]
A*[[x][y][z]] = L2*[[x][y][z]]
A*[[x][y][z]] = L3*[[x][y][z]]
toujours dans mon exemple P=[[1,1,1][1,1,-1][2,-1,0]]
pour l'inverse de P tu tape sur ta TI P^-1 soit P^-1=[[1/6,1/6,1/3][1/3,1/3,-1/3][1/2,-1/2,0]]

Sachant que A'=P^-1*A*P, A=P*A'*P^-1
donc A^n=P*A'*P^-1*P*A'*P^-1*P*A'*P^-1*....*P*A'*P^-1
or P^-1*P = Identity(3)
d'ou A^n=P*A'^n*P^-1

comme calculer A'^n est très rapide ([[6,0,0][0,3,0][0,0,0]]^n=[[6^n,0,0][0,3^n,0][0,0,0]]) calculer A^n devient alors tres simple

Ca sert aussi à résoudre des équations différentielles, à simplifier des endomorphismes, etc.

calculer des déplacement dans l'espace aussi (en tt ca je l'utilise pour ca en grande partie)
en fait a lieu de calculer dans la base i,j,k on calcule dans une base u,v,w

     (i,j,k)<------- P -------(u,v,w)
     |                                 |
     |                                 |
A   |                                 |    A'
    /                                /
    (i,j,k)------ P^-1 ---->(u,v,w)

J'ai encore moins compris

Vous avez appris tout ça en quelle classe ?

Maths sup/spé

C'est quoi la différence entre les deux ? ça correspond à la 1ère-terminale S ?

IUT Génie Civil

Thibaut
a écrit : C'est quoi la différence entre les deux ? ça correspond à la 1ère-terminale S ?

tu parles à moi?
si oui:
Prépa quoi... Mathématiques supérieures et mathématiques spéciales

si non:
(rien)

Thibaut a écrit :
J'ai encore moins compris
Vous avez appris tout ça en quelle classe ?

t'es en TS?

Thibaut> cherche pas, c les trucs merdiques qu'on apprend une fois qu'on a eu le BAC S, et qu'on espère en avoir fini avec les maths
premire année d'IUT, j'ai vu des trucs ds ce style...
pas compris le tier... et rien retenu

il me semble que Thiabut est en term STI ou dans ce gout là

desole j essayais juste mon nick ca fait trois mois que je ne l ai pas utilise et je voulqis sqvoir si ca marchait encore

> forum test

Sinon pour les matrices, ça traine dans mes classurs, mais comme ça, à froid, calculer une matrice de passage.... pas possible pour moi

C'est-à-dire que j'ai effectué volontairement un shift-suppr de tout ça moi

chuis en plein dedans moi...
c'est clair que l'algebre c'est vraiment spécial comme truc...

Pour calculer les vecteurs propres tu ne peux pas utiliser simult() directement
parce que la TI calcule le déterminant système qui est nul et dc erreur .
Dc - soit tu utlises la commande zeros() mais là va falloir transformer ta matrice
en n équations linéaires .
- soit tu calcules la dimension de ton espace propre et tu fixes autant de paramètres qu'il faut et puis tu utilses simult()

Sinon il me semble qu'il y a un prog sur le site de Ti tiré d'un livre "Ti89 maths du lycée à la prépa" qui fait ce que tu veux ... et il utilises un autre algo bcp plus rapide ..
Enfin y a un prog tiré du même livre qui fait la décomposition de Dunford (D+N avec N nilpotente et D diagonalisable et DN=ND ) dc si tu veux de la rapidité dans le calcul de puissance c'est top (Binôme de Newton ....)
J'espère que je t'aide ...