Fastoche :
C'est une équa diff linéaire du premier ordre à coefs continus (variables).
Le coef de y' (constant) ne s'annule pas sur R, donc il existe des solutions définies (C^1) sur R (th de Cauchy-Lipshitz). Tu peux exprimer les solutions facilement :
1) Equation homogène : y'+2xy=0
y(x) = A*exp(-int (2t,t,0,x)) = A*exp(-x^2)
2) Equation avec second membre :
Méthode de variation de la constante par exemple :
tu prend y de la forme y(x) = A(x)*exp(-x^2)
donc y' = A(x)*(-2x)*exp(-x^2)+A'(x)*exp(-x^2)
tu injecte dans l'ed et tu as : A'(x)exp(-x^2)=1 (simplification)
donc A'(x) = exp(x^2).
Là, t'es dans la merde, parceque ça, ça s'intègre pas !
Donc ta solution est y(x)=(int(exp(t^2),t,0,x) + A)*exp(-x^2)
Bon, la fonction est au moins C1, mais pour montrer que c'est C^oo, soit tu dis que c'est évident, soit t'as un théorème qui le dis, mais je l'ai vu en MP (je crois).
vala !
[edit]Edité par guilc le 14-04-2002 à 21:10:34[/edit]
Nan, c'était en MPSI. Tu utilise l'équa diff, puisque la fonction est solution : tu tire f'(x) = 1-2xf(x), or f C^1, donc 1-2xf(x) C^1, donc f' C^1. D'où f C^2...etc... Par récurence immédiate. Donc f C^oo. CQFD
[edit]Edité par guilc le 14-04-2002 à 22:07:09[/edit]
