1

Soit f la fonction définit sur ]1;+l'infini[ par :

f(x) = (2x^3 + 3) / (x^2 - 1)

Etudier le sens de variation de f sur]1;+l'infini[ .

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J'ai commencé à faire la dérivé de f(x), et j'arrive à : f '(x) = (2x^4 - 6x^2 - 6x) / (x^4 + 2x^2 + 1)
Et à partir de là je suis bloquée... parce que je vois pas comment je peux réduire plus, pour pouvoir trouver le signe de f ' (x) et faire mon tableau de variations...

Voilà, donc un peu d'aide serait la bienvenue.. happy

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Alors pour étudier le signe de quelque chose, il faut toujours factoriser le plus possible, en effet le signe d'un produit se déduit immédiatement dès que tu as le signe de chaque facteur, je suppose que tu sais comment.
Ici déjà tu as un quotient, c'est presque pareil qu'un produit si ce n'est qu'il faut faire attention au dénominateur nul. Première chose, que peux-tu dire du signe du dénominateur ?
Bon ensuite le numérateur peut se factoriser par x pour commencer (et même par 2x), donc il ne reste que x^3 - 3x - 3, c'est déjà plus simple ^^

est-ce qu'il n'y a pas d'autres questions dans ton exercice qui pourraient t'aider à trouver le signe de x^3 - 3x - 3 ?

Si ce n'est pas le cas, voici ce que tu peux faire :
— regarder quel est le sens de variation de x^3 - 3x - 3 (n'oublie pas qu'on est juste sur ]1; +oo[)
— regarder quel est son signe pour x = 1, vers quoi ça tend en +oo, en déduire si cela change de signe et combien de fois
— éventuellement, calculer une valeur approchée des x où on a changement de signe
— ça m'étonnerait qu'on te demande une valeur *exacte* de ces x sans te donner d'indication supplémentaire vu que ça revient à résoudre une équation du troisième degré. Il y a peut-être une astuce que je ne vois pas dans ce cas précis, mais a priori je ne saurais pas le faire. Donc si tu n'as aucune indication dis juste un truc du type « il existe une valeur alpha de x comprise entre tant et tant où la dérivée change de signe » et marque alpha dans le tableau de variation.
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Membrane fondatrice de la confrérie des artistes flous.
L'univers est-il un dodécaèdre de Poincaré ?
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3

1. Soit g la fonction définie sur R par :

g(x) = x^3 - 3x - 3

a) Etudier le sens de variation de g sur R.
b) Démontrer que l'equation g(x) = 0 admet dans R une unique solution que l'on note alpha. Donner un encadrement à 10^-2 près de alpha.
c) Déterminer le signe de g sur R.

( comme ils marquent "determiner", ça veut dire qu'il faut que je fasse un calcul non ? je peux pas juste regarder mon tableau ?)

2. Soit f la fonction définie sur ]1;+l'infini[ par :

f(x) = (2x^3 + 3) / (x^2 + 1)

a) Démontrer que le signe de f ' (x) est le même que le signe de g(x) sur ]1;+l'infini[.
b) En déduire le sens de variation de f sur ]1;+l'infini[.
c) En utilisant la définition de alpha, démontrer que f(alpha) = 3alpha.
d) Démontrer que l adroite d'équation y = 2x est une asymptote à la courbe représentant f et étudier la position de Cf par rapport à cette asymptote.

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C'est bon j'ai compris ! merci happy
J'ai juste un petit problème sur le 2.c), c'est quoi la définition de alpha ? Est-ce que je le traite comme un x vu que j'ai qu'un encadrement ? 2.10<alpha<2.11

4

Alors pour la 2. c) la définition de alpha c'est juste g(alpha) = 0

L'idée est donc en effet de traiter alpha comme une variable (comme un x) puisqu'on ne connaît pas sa valeur mais d'utiliser le fait que g(alpha) = 0 c'est-à-dire alpha^3 - 3alpha - 3 = 0.

Pour montrer que f(alpha) = 3alpha tu peux par exemple écrire f(alpha) - 3alpha et essayer de simplifier. Pour pouvoir utiliser la définition de alpha il faut essayer de faire apparaître alpha^3 - 3alpha - 3, tu dis ensuite que par définition ça vaut 0 et tu remplaces.
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ok merci !