logique - Page 1

Salut à tous
Alors j'ai vu dans un livre un démonstration de logique qui me parrait louche :

puis ce qui en découle :


Mais je trouve qu'il y a un truc faux, puisque on ne se retrouve pas devant 3 portes, mais 2, puisque l'animateur en a ouvert une ...
Enfin dites moi ce que vous en pensez
Si ce n'est pas assez complet, je peux scanner plus

Il ne s'agit pas de logique mais de probabilités

-

Oui, probabilié
Mais selon sa méthode, on a plus de chance de gagner une voiture en changeant son choix, qu'en le gardant ...

Moi je n'ai pas compris la "logique". Cet arbre suppose que l'on sache ce qui se trouve derriere la porte

Arvi89 :
Oui, probabilié
Mais selon sa méthode, on a plus de chance de gagner une voiture en changeant son choix, qu'en le gardant ...

Faut dire que t'as 1 chance sur 3 de choisir la bonne dès le début, et 2/3 de te tromper, donc forcément t'as plus de chances de gagner si tu changes d'avis, statistiquement.

on a eu cet exo l'an dernier, à notre premier td de proba. C'est vrai que c'est assez troublant, et la seule façon à mon goût c'est de bien écrire la démo

Oui ...
Je pense que je vais me faire tous les cas possibles demain

Arvi89 :
Oui, probabilié
Mais selon sa méthode, on a plus de chance de gagner une voiture en changeant son choix, qu'en le gardant ...

edit: je raconte n'imp, dsl

Imagine 100 portes, 99 chèvres, et une voiture.
Tu choisis une porte, l'animateur (qui *sait* où se trouvent les chèvres) ouvre 98 des portes avec chèvres restantes (il en reste soit 98, soit 99, donc il peut en ouvrir 98).
Tu gardes où tu changes ?

Personnellement je n'ai jamais compris la logique qui veut que quand on a trois choix d'un côté (1/3 donc) et qu'on en passe à deux en en supprimant un, on a toujours 1/3 et non 1/2.

Mais j'adore les probas et j'applique ces règles sans trop comprendre cette base ^^

Tout est dans la parentèse.

On te repropose deux choix ensuite, pourquoi les chances de réussites ne sont pas de 1/2 plutôt que 1/3 ? si tu ne changeais pas je comprendrais, mais tu peux changer.

[EDIT] Quoi que je viens de répondre à la question les chances si l'on change passe à 1/2, et donc l'on a plus de chances.

Non.

Ca doit être la formulation. Je vais essayer de réecrire mon exemple :
Tu es devant 100 portes, derrières lesquelles il y a 99 chèvres et une voiture.
Tu choisis une porte.
Le présentateur omniscient te dit alors : La voiture est soit derrière la porte que tu as choisie, soit derrière la porte x. Tu comprends pourquoi il y a 99 chances sur 100 que la voiture soit derrière la porte x ?

Une autre façon de voir le résultat, c'est de se dire :
- si je prends une porte au pif, j'ai 1/3 chance d'avoir une voiture ; si ma décision est de systématiquement confirmer mon premier choix, la probabilité reste donc 1/3
- si je prends d'abord une porte au pif, mais après quand on me demande si je veux changer je réponds au hasard, la probabilité d'avoir une voiture passe à 1/2 (je n'ai plus que 2 portes, l'une avec une voiture, l'autre sans ; et ma 1ère décision n'influe absolument pas sur celle-ci)

Donc comme le deuxième cas est la moyenne du premier cas et du cas où je change systématiquement d'avis, la probabilité si je change systématiquement d'avis est 2 x 1/2 - 1/3 = 2/3 (ça peut se reformuler en : si prendre au pif est meilleur que ne jamais changer d'avis, alors ça va être encore plus rentable de toujours changer d'avis que de prendre au pif)

ça me paraît fortement pipo

Oui, mais dans l'éxemple, en fait dés le départ on a 1 chance sur 2, car l'animateur montre une porte où il y a une chèvre.
Donc on a une chance sur 2 d'être sur la voiture, ou non, donc une chance sur 2 de se planter en changeant.

Faudrait que je ressorte le corrigé de cet exo

(Je sais néanmoins que la conclusion était qu'il valait mieux changer de porte)

Non, vous lisez mal l'énoncé (faut dire que dans ton exemple il n'est pas écrit de manière super claire).
En fait, au départ tu choisis une porte parmi trois et l'animateur n'a rien ouvert pour l'instant. Ensuite, l'animateur ouvre une porte derrière laquelle il *sait* qu'il y a une chèvre (et qui n'est pas celle que tu as choisie) : il n'ouvre pas n'importe quelle porte au hasard ! donc comme tu avais une chance sur trois d'être sur la bonne porte ben cette probabilité ne change pas : de toute façon, quelle que soit la porte que tu as choisie, il est *toujours* en mesure de t'en ouvrir une avec une chèvre.

./16 > moi ça me paraît juste, quoique mal exprimé.
Il décide de tirer à pile ou face s'il change ou pas, ça fait du changement un événement aléatoire de probabilité 1/2, indépendant du premier choix. Ensuite il dit que la probabilité de trouver la voiture sachant qu'il n'a pas changé est de 1/3, ce qui est vrai puisque ça revient à dégager l'animateur (on s'en fout de ce qu'il fait). Puis il dit que tirer à pile ou face le changement revient à choisir équiprobablement entre les deux portes sans tenir aucun compte des informations antérieures, ce qui est vrai aussi, donc la probabilité de gagner est bien 1/2 dans ce cas.
En fait ça revient à calculer la proba s'il n'y avait pas la deuxième étape (l'animateur) et la proba s'il n'y avait pas la première étape (les trois portes), respectivement.
Ensuite, ben P(V|changé) = P(V et changé) / P(changé) = (P(V) - P(V et pas changé))/P(changé) = (P(V) - P(V|pas changé)P(pas changé))/P(changé) = 2 × (1/2 - 1/3 × 1/2) = 2/3.

L'expression qui fait que ça a l'air pipo est « c'est la moyenne des deux cas » qui ne veut rien dire (mais bon #pollux# hein), en fait je crois qu'il voulait exprimer en disant ça que P(V) = P(V|changé)P(changé) + P(V|pas changé)P(pas changé), ce qui est vrai bien sûr...

Moi, j'aime bien les chèvres et j'ai déjà une voiture, alors que je n'ai pas de chèvre..............

Finalement, pourquoi vouloir à tout prix gagner une voiture alors que la chèvre peut aider à tondre la pelouse (avec la voiture c'est plus dure pour tondre) ?

Sally :
L'expression qui fait que ça a l'air pipo est « c'est la moyenne des deux cas » qui ne veut rien dire (mais bon #pollux# hein), en fait je crois qu'il voulait exprimer en disant ça que P(V) = P(V|changé)P(changé) + P(V|pas changé)P(pas changé), ce qui est vrai bien sûr...

Comment ça ça veut rien dire
Les deux cas sont parfaitement équiprobables, donc c'est tout sauf faux de dire que la probabilité dans le cas moyen est la moyenne des probabilités dans les cas extrêmes...

Je vois pas le problème, sincèrement (à part qu'effectivement ça sonne un peu pipo dit comme ça, mais ça n'en est pas moins vrai...)

les chères chèvres spootr #loin#

./21 > je n'ai pas dit que c'était faux (j'ai même dit explicitement que c'était vrai si j'avais bien compris ce que tu entendais par là, ce qui est manifestement le cas après tes précisions), j'ai juste dit que ça ne voulait rien dire (on ne comprend pas ce que ça veut dire, si tu préfères). Un « cas », c'est pas un nombre, c'est quoi la moyenne de deux « cas » ? ben ça n'existe pas. Donc tu t'exprimes mal. Mais il n'y a aucun problème de raisonnement hein (enfin je n'en vois pas en tous cas). (Et soit dit en passant, là tu te re-exprimes mal, parce que tu n'as pas de cas « moyen » et de cas « extrêmes » , plutôt un cas général et des cas particuliers... et j'aurais plutôt exprimé ça en parlant de « probabilité totale » et de « probabilités partielles » personnellement. Mais bon.)

Et ça ne vient pas de moi hein, la preuve le post de Moumou ./16

Sally
: Un « cas », c'est pas un nombre, c'est quoi la moyenne de deux « cas » ?

Un « cas », c'est une distribution de probabilité.
Tu peux donc définir la moyenne de deux « cas » A et B comme étant le « cas » où la probabilité d'un événement donné est la moyenne de la probabilité de cet événement dans le cas A et de cet événement dans le cas B.

C'est parfaitement bien défini et intuitif, comme notion, non ?

tu n'as pas de cas « moyen » et de cas « extrêmes »

J'avoue que je t'ai un peu provoqué en disant ça Mais ça correspond bien à l'intuition et la définition que j'ai donnée est bien celle à laquelle on s'attend... Et c'est employé exactement dans le même sens que l'usage courant, d'ailleurs.

Disons que le fait de formuler ça comme ça plutôt qu'en termes de cas général/cas particulier correspond à la démarche de prendre les deux cas particuliers et d'en prendre la moyenne, alors que ta formulation prend le cas général et le décompose en deux sous-cas, et elle a l'inconvénient de ne pas mettre en évidence immédiatement les propriétés de cette décomposition (les deux "cas particuliers' sont-ils disjoints ? équiprobables ?) Les deux approches se valent, la mienne peut donner l'impression que c'est une arnaque si on ne définit pas clairement les concepts sous-jacents, mais je trouve qu'on voit mieux ce qui se passe une fois qu'on a compris ^^

Un « cas », c'est une distribution de probabilité.

Ben je suis désolé mais je trouve carrément pas ça intuitif comme définition. « Cas » est un terme extrêmement vague dans la langue usuelle, et lorsqu'on l'emploie dans une démonstration il n'a en général pas la définition que tu donnes ici : un cas est plutôt un certain ensemble d'hypothèses !
C'est ça (l'emploi de termes vagues ou inappropriés) qui donne l'impression que tu pipeautes

la définition que j'ai donnée est bien celle à laquelle on s'attend...

euh, tu as *défini* quelque part ce que tu appelais cas extrêmes et moyen ? . Dans la mesure ou le cas « moyen » est la réunion des deux cas « extrêmes », je trouve ça particulièrement bizarre comme façon de dire (les extrêmes sont inclus dans le moyen , tu trouves ça intuitif toi ?)

Sally
:

Un « cas », c'est une distribution de probabilité.

Ben je suis désolé mais je trouve carrément pas ça intuitif comme définition. « Cas » est un terme extrêmement vague dans la langue usuelle, et lorsqu'on l'emploie dans une démonstration il n'a en général pas la définition que tu donnes ici : un cas est plutôt un certain ensemble d'hypothèses !

Dans le terme "cas moyen" ça se comprend bien que c'est pas du tout le même sens que dans "disjonction de cas"... (c'est comme si tu me tombais dessus si je disais qu'un théorème est simple, sous prétexte que "simple" est aussi employé avec un sens très différent à propos des groupes simples ) Je voulais pas employer de termes compliqués genre "distribution de probabilité" pour expliquer un truc simple (non, pas un groupe ), mais si j'avais su que t'allais couper les cheveux en quatre derrière...

la définition que j'ai donnée est bien celle à laquelle on s'attend...

euh, tu as *défini* quelque part ce que tu appelais cas extrêmes et moyen ?

Dans ./24, je voulais dire ^^ Pour "cas extrêmes", y a rien à définir, pour "cas moyen", c'est la moyenne des cas extrêmes (étonnant, non ? )

Dans la mesure ou le cas « moyen » est la réunion des deux cas « extrêmes », je trouve ça particulièrement bizarre comme façon de dire (les extrêmes sont inclus dans le moyen , tu trouves ça intuitif toi ?)

Je ne parle pas de réunion, je parle de moyenne, justement
(c'est quoi, une réunion de distributions de probabilités ??? #arroseur arrosé#)

Oui, on comprend que ce n'est pas le même sens que dans « disjonction de cas », mais je disais ça pour mettre en valeur le fait que tu employais le mot dans son sens usuel (qui est très vague) et pas dans son sens mathématique.
Euh sinon quand je parle de réunion, c'est parce que je voulais expliquer ce qui m'avait paru bizarre dans ton expression quand je l'ai lue pour la première fois, c'est-à-dire quand tu n'avais pas encore défini ce que tu entendais par « cas » ; or il se trouve que j'avais compris qu'un cas était un univers des possibles et non une loi de probabilités (si tu relis le ./23, c'est très visible que j'avais compris ça comme ça). Donc il s'agissait bien pour moi d'une réunion .
Donc en fait je n'avais pas compris ton raisonnement : je croyais que tu prenais une loi de probas fixe et que tu coupais l'univers des possibles en deux sous-univers équiprobables (celui ou on change et celui ou on change pas), que tu calculais la proba de gagner dans l'univers total (1/3) et dans l'univers restreint aux événements où on n'a pas changé (1/2), que tu disais que la proba dans l'univers total c'est la moyenne des probas dans les univers partiels puisqu'ils sont équiprobables et que tu en déduisais le résultat.

Alors que ce que tu voulais dire, c'est que tu n'as qu'un univers des possibles et que tu changes la loi de proba en faisant varier la probabilité de changer : si P(changer) vaut 0 la proba de gagner est 1/3, si P(changer) vaut 1/2 alors P(gagner) vaut 1/2, et tu dis que la probabilité de gagner si P(changer) vaut 1/2 c'est la moyenne des probabilités de gagner quand P(changer) vaut 1 et quand il vaut 0 ? euh mais si c'est bien ça que tu as voulu dire, Moumou avait raison : c'est du pipeau , comment tu démontres cette propriété ?

Un « cas », c'est une distribution de probabilité. Tu peux donc définir la moyenne de deux « cas » A et B comme étant le « cas » où la probabilité d'un événement donné est la moyenne de la probabilité de cet événement dans le cas A et de cet événement dans le cas B.

La probabilité de tout événement ou la probabilité d'un certain événement ? là ton cas est la moyenne des autres parce que la probabilité de l'événement changer dans ce cas est la moyenne de ses probabilités dans les autres, et tu en déduis que c'est vrai pour tous les événements ? c'est complètement bidon comme raisonnement
Donc excuse-moi : ce n'est pas que tu t'exprimes mal, c'est que tu pipeautes réellement

./27>

Ben exactement de la façon dont tu l'as démontré :

P_loi_jamais_changer(gagner) = 1/3
P_loi_moyenne(gagner) = 1/2

Or P_loi_moyenne(X) = 1/2 . (P_loi_jamais_changer(X) + P_loi_toujours_changer(X)) (c'est exactement la définition de la distribution de probabilité P_loi_moyenne), donc P_loi_toujours_changer(gagner) = 2/3 ^^

Et on a évidemment que P_loi_moyenne(X) = P(X) (coïncide sur l'univers des possibles, qui est {pas_changer,changer}), et P_loi_jamais_changer(X) = P(X | pas_changer) (même raison). Ca marche

./28>

Sally :
parce que la probabilité de l'événement changer dans ce cas est la moyenne de ses probabilités dans les autres, et tu en déduis que c'est vrai pour tous les événements ?

Non, je fais précisément l'inverse : je *pose* le "cas moyen" comme étant la moyenne des "cas extrêmes", et j'en déduis que ça marche bien ^^