Quatre triangles équilatéraux avec six allumettes... - Page 2

Bernard Werber était ce main dans une émission littéraire de Europe 1. LE thème d'aujourd'hui était la science fiction. Il a décrété son ambition de vouloir créer une "nouvelle" forme de science fiction : la sciecne fiction qui explore les limites de la sociologie et de la philopsophie. Pas très concret, quand même...

uéué Nheryvra pis l'indice était il faut réfléchir

ouais il était en manque d'idée sur la fin quoi :/

bah je trouve ça encore pire que ma solution qui consiste à casser les allumettes en deux : moi au moins j'utilise pas d'accessoire supplémentaire

Sally :
ah il faut faire 4 triangles équilatéraux égaux ?? c'était pas marqué dans l'énoncé ça

Ils se trouvent qu'ils sont égaux mais si t'arrives à les fiare inégaux, c'est bien (mais impossible). La solution à laquelle tu pense (comme l'étoile de david) et toutes les solutions dans le plan ne sont pas élégantes puisqu'il faudrait poser des allumettes parallèles et qu'on a rien pour le faire "sérieusement".

LionelA :
faut faire un tetraedre ?

Oui.


Je propose qu'on mette toutes les solutions "pourries" pour faire plus de 4 triangles équilatéraux.

lol, alors que pour faire tenir des allumettes en forme de tétraèdre t'as un moyen « sérieux » ? je veux une photo ! (et puis comment tu sais que j'ai rien pour le faire sérieusement ? j'ai un compas... ben oui si on a droit au miroir pourquoi on aurait pas droit au compas, hein ? . En tous cas si tu m'interdis le compas je t'interdis la colle, et bon courage pour le tétraèdre )

Y'a pas moyen en les faisant un peu bruler ?

Si, il suffit de tenir l'une à côté de l'autre les trois têtes des allumettes constituant le sommet, elles se "colleront" après y avoir mi le feu (mais éteindre de suite après)

Moi avec 3 allumettes et deux miroirs je fais une infinité de triangles équilatéraux

./35 > il me semble qu'on peut le faire sérieusement, parce qu'il me semble (pas le temps de vérifier) que si tu fais deux triangles équilatéraux ABC et A'B'C' (de côté une allumette) avec A' qui est sur [BC] et A sur [B'C'] — on est d'accord que tu peux faire ça « sérieusement » ? — alors (BC) et (B'C') sont parallèles — c'est peut-être complètement faux, mais il me semble que ça doit être vrai, mais la démonstration ne me saute pas aux yeux et j'ai pas le temps d'y réfléchir — et donc tu as fait 6 triangles équilatéraux (qui ne sont bien sûr pas tous égaux, mais ce n'était pas demandé)

Ximoon :
Moi avec 3 allumettes et deux miroirs je fais une infinité de triangles équilatéraux

Sally :
./35 > il me semble qu'on peut le faire sérieusement, parce qu'il me semble (pas le temps de vérifier) que si tu fais deux triangles équilatéraux ABC et A'B'C' (de côté une allumette) avec A' qui est sur [BC] et A sur [B'C'] — on est d'accord que tu peux faire ça « sérieusement » ? — alors (BC) et (B'C') sont parallèles — c'est peut-être complètement faux, mais il me semble que ça doit être vrai, mais la démonstration ne me saute pas aux yeux et j'ai pas le temps d'y réfléchir — et donc tu as fait 6 triangles équilatéraux (qui ne sont bien sûr pas tous égaux, mais ce n'était pas demandé)

Ben non... Si tu les mets au centre peut-être.

Sally :
lol, alors que pour faire tenir des allumettes en forme de tétraèdre t'as un moyen « sérieux » ?

Bah je mets mon doigt. Il n'est pas dit que ça doit tenir tout seul.

Sally :
./35 > il me semble qu'on peut le faire sérieusement, parce qu'il me semble (pas le temps de vérifier) que si tu fais deux triangles équilatéraux ABC et A'B'C' (de côté une allumette) avec A' qui est sur [BC] et A sur [B'C'] ? on est d'accord que tu peux faire ça « sérieusement » ? ? alors (BC) et (B'C') sont parallèles

Faut que je dessine là mais ça m'étonnerait (déjà rien qu'en lisant l'ennoncé qui parle de 4 et pas six...)

Tiens d'ailleurs, si A' va sur B et A sur C', c'est pas très parallèle !

Nheryvra>Précisément, c'est dans le 2è, ça.

EDIT : quand je dis qu'il y a « deux solutions » ça veut dire qu'il y a deux façons différentes, ABC étant un triangle équilatéral et A' un point fixé de [BC], de faire un triangle équilatéral A'B'C' de même côté que ABC tel que A soit sur [B'C']. Une seule de ces façons est une solution à l'énigme ^^


ex-Miles > euh oui effectivement il y a deux solutions par position de A', j'avais pas vu, désolé (ça explique que j'arrivais pas à démontrer le résultat ). Effectivement dans le cas où A' est le *milieu* de [BC] ce que je disais marche parce que les deux solutions sont confondues (mais on ne peut pas trouver le milieu de [BC] de façon « sérieuse », je crois ^^).

Bon grâce à ça j'ai trouvé la preuve (enfin pas la preuve de ce que je disais hein, celle de la vraie propriété). Si j'appelle H le milieu de [BC] et alpha l'angle orienté (AH, AA'), j'ai AA'/AH = tan alpha. Mais si j'appelle H' le milieu de [B'C'] et alpha' l'angle orienté (A'H', A'A), j'ai AA'/A'H' = tan alpha' ; or A'H' = AH puisque les deux triangles ABC et A'B'C' sont semblables. Donc |alpha'| = |alpha| (car ils sont tous deux entre -pi/2 et pi/2).

Maintenant, j'ai l'angle (AA', AC) qui vaut pi/6 - alpha. De même, (A'A, A'C') vaut pi/6 - alpha'. Donc soit il y a une différence de 2|alpha| entre ces deux angles, soit ils sont égaux. Dans le cas où ils sont égaux, (AC) et (A'C') sont parallèles. Donc les autres côtés aussi, évidemment ^^.

Bon il y a deux solutions mais on peut quand même le faire "sérieusement" vu que c'est pas dur de distinguer la solution où c'est parallèle de celle où ça ne l'est pas, dès qu'alpha est suffisamment grand. Le truc c'est que tout dépend ce qu'on appelle « sérieux », évidemment ^^, mais bon. (Il faudrait définir clairement quelles opérations sont autorisées et lesquelles ne le sont pas.)

Titane :
J'ai oublié de donner le formule magique qui aide à trouver la solution : "Il faut penser autrement"

Oh punaise merci mille fois !!!

En lisant ces quatre mots j'ai eu un flash et j'ai trouvé !

Excellent ! J'adoooooooooore !

J'ai récemment acheté l'"Encyclopédie du savoir absolu et relatif" du même auteur afin de le découvrir, mais je crois que je vais craquer pour les fourmis

Merci !

Sally :
Bon il y a deux solutions mais on peut quand même le faire "sérieusement" vu que c'est pas dur de distinguer la solution où c'est parallèle de celle où ça ne l'est pas, dès qu'alpha est suffisamment grand. Le truc c'est que tout dépend ce qu'on appelle « sérieux », évidemment ^^, mais bon. (Il faudrait définir clairement quelles opérations sont autorisées et lesquelles ne le sont pas.)

Fais-nous un dessin ou une photo

GOLDEN71 :
En lisant ces quatre mots j'ai eu un flash et j'ai trouvé !

bah t'es fort

J'ai récemment acheté l'"Encyclopédie du savoir absolu et relatif" du même auteur afin de le découvrir, mais je crois que je vais craquer pour les fourmis

L'ESAR est très nettement supérieure. Parce que dans les fourmis, il ne se passe presque rien et c'est pas particulièrement bien raconté. Y'a ni style ni contenu ; c'est trop long quoi.

Titane
: bah t'es fort

Le fouttage de gueule c'est pas très charitable

T'es pas fort, t'es "rare" (parce que peu trouvent la solution).

Titane :
T'es pas fort, t'es "rare" (parce que peu trouvent la solution).

Ah ok.
On m'a déjà dit que j'étais rare mais je savais pas trop comment le prendre...

Oui, dans l'expression "c'est rare un con pareil", c'est moins flatteur biensûr

Exact, il ne me reste plus qu'à croire (espérer) que ce n'est pas le cas.

Y a-t-il d'autres mini énigmes dans cet ouvrage ?

Titane
:

Sally :
Bon il y a deux solutions mais on peut quand même le faire "sérieusement" vu que c'est pas dur de distinguer la solution où c'est parallèle de celle où ça ne l'est pas, dès qu'alpha est suffisamment grand. Le truc c'est que tout dépend ce qu'on appelle « sérieux », évidemment ^^, mais bon. (Il faudrait définir clairement quelles opérations sont autorisées et lesquelles ne le sont pas.)

Fais-nous un dessin ou une photo

Tu fais un triangle équilatéral avec tes trois premières allumettes et tu le poses (en noir). Tu fais ensuite un deuxième triangle avec les trois autres allumettes ; tu en poses un sommet sur un des côtés du premier triangle, et tu le fais pivoter autour de ce sommet (les triangles en pointillés bleus et verts représentent des positions que tu peux obtenir ainsi). Il y a deux positions particulières (en rouge et en jaune) où le sommet opposé du triangle noir est sur le côté opposé du triangle que tu fais tourner. Dans la position rouge, les côtés des deux triangles sont parallèles, et j'ai obtenu la figure sans tricher, en n'utilisant que les allumettes. Et si tu regardes bien cette figure forme six triangles équilatéraux (donc a fortiori elle en forme quatre ).

Sally :
ex-Miles > euh oui effectivement il y a deux solutions par position de A', j'avais pas vu, désolé (ça explique que j'arrivais pas à démontrer le résultat ). Effectivement dans le cas où A' est le *milieu* de [BC] ce que je disais marche parce que les deux solutions sont confondues (mais on ne peut pas trouver le milieu de [BC] de façon « sérieuse », je crois ^^).

c'est quoi cette notion de "sérieux" ?

Bon grâce à ça j'ai trouvé la preuve (enfin pas la preuve de ce que je disais hein, celle de la vraie propriété). Si j'appelle H le milieu de [BC] et alpha l'angle orienté (AH, AA'), j'ai AA'/AH = tan alpha. Mais si j'appelle H' le milieu de [B'C'] et alpha' l'angle orienté (A'H', A'A), j'ai AA'/A'H' = tan alpha' ; or A'H' = AH puisque les deux triangles ABC et A'B'C' sont semblables. Donc |alpha'| = |alpha| (car ils sont tous deux entre -pi/2 et pi/2).

Maintenant, j'ai l'angle (AA', AC) qui vaut pi/6 - alpha. De même, (A'A, A'C') vaut pi/6 - alpha'. Donc soit il y a une différence de 2|alpha| entre ces deux angles, soit ils sont égaux. Dans le cas où ils sont égaux, (AC) et (A'C') sont parallèles. Donc les autres côtés aussi, évidemment ^^.

Bon il y a deux solutions mais on peut quand même le faire "sérieusement" vu que c'est pas dur de distinguer la solution où c'est parallèle de celle où ça ne l'est pas, dès qu'alpha est suffisamment grand. Le truc c'est que tout dépend ce qu'on appelle « sérieux », évidemment ^^, mais bon. (Il faudrait définir clairement quelles opérations sont autorisées et lesquelles ne le sont pas.)

ça m'a l'air bien compliqué comment tu tournes tout ça. En se disant qu'on a 2 triangles équilatéraux ABC et A'B'C', et A sur [B'C'] et A' sur [BC], y'a 2 configurations :
- soit BC // B'C' : ça marche mais les 4 triangles équilatéraux ne seront tous semblables que si A milieu de BC (et A' milieu de B'C')
- sinon, ben y'a pas de triangles équilatéraux (à part ABC et A'B'C').

Sally
:

Titane
:

Sally :
Bon il y a deux solutions mais on peut quand même le faire "sérieusement" vu que c'est pas dur de distinguer la solution où c'est parallèle de celle où ça ne l'est pas, dès qu'alpha est suffisamment grand. Le truc c'est que tout dépend ce qu'on appelle « sérieux », évidemment ^^, mais bon. (Il faudrait définir clairement quelles opérations sont autorisées et lesquelles ne le sont pas.)

Fais-nous un dessin ou une photo

Tu fais un triangle équilatéral avec tes trois premières allumettes et tu le poses (en noir). Tu fais ensuite un deuxième triangle avec les trois autres allumettes ; tu en poses un sommet sur un des côtés du premier triangle, et tu le fais pivoter autour de ce sommet (les triangles en pointillés bleus et verts représentent des positions que tu peux obtenir ainsi). Il y a deux positions particulières (en rouge et en jaune) où le sommet opposé du triangle noir est sur le côté opposé du triangle que tu fais tourner. Dans la position rouge, les côtés des deux triangles sont parallèles, et j'ai obtenu la figure sans tricher, en n'utilisant que les allumettes. Et si tu regardes bien cette figure forme six triangles équilatéraux (donc a fortiori elle en forme quatre ).

le jaune et le noir forment 6 triangles équilatéraux ?

Non, c'est le rouge et le noir qui forment 6 triangles équilatéraux (c'est si peu clair que ça mon texte ???) : deux grands (le rouge et le noir eux-mêmes), deux moyens et deux petits.
./55 > ben c'est exactement ce que je dis non ? (mais en plus je l'ai démontré ^^)

"sérieux" c'est Titane qui a dit ça (./35), je pense que ça veut dire qu'il faut pouvoir construire la figure en n'utilisant que les allumettes (même si pour bien faire il faudrait préciser davantage ce que ça signifie exactement, comme je l'ai dit ^^). En l'occurrence je disais que je n'arrive pas à déterminer le milieu d'une allumette en n'utilisant que des allumettes (je sais pas si on peut ou pas).

pas mal ta solution

Sally :
Non, c'est le rouge et le noir qui forment 6 triangles équilatéraux (c'est si peu clair que ça mon texte ???) : deux grands (le rouge et le noir eux-mêmes), deux moyens et deux petits.
./55 > ben c'est exactement ce que je dis non ? (mais en plus je l'ai démontré ^^)

ah ok, c'est juste ton "2 solutions" qui me perturbait, en fait j'avais pas compris que tu te posais un autre problème ^^
Tu me fais penser à un prof de maths qui rallongeait les exo en posant la question "et si on change ça, ça devient quoi ?"

Sally :
"sérieux" c'est Titane qui a dit ça (./35), je pense que ça veut dire qu'il faut pouvoir construire la figure en n'utilisant que les allumettes (même si pour bien faire il faudrait préciser davantage ce que ça signifie exactement, comme je l'ai dit ^^). En l'occurrence je disais que je n'arrive pas à déterminer le milieu d'une allumette en n'utilisant que des allumettes (je sais pas si on peut ou pas).

ben on fait ça à vue ! sinon il faudrait aussi se prendre la tête sur les tailles des allumettes

Ben si on a le droit de déterminer le milieu à vue, on peut poser des allumettes parallèles et c'est hyper facile de faire, à plat, 4 triangles semblables, mais dans le ./35 il dit qu'on n'a pas le droit. Je pense que l'idée c'est que les « allumettes » sont des allumettes idéales, ie des segments dépourvus d'épaisseur etc. etc., tous exactement de même longueur, et que les opérations auxquelles on a droit sont seulement les faire pivoter autour d'un point fixe, les "bloquer" les unes contre les autres, et déterminer des intersections. Donc on peut fabriquer un triangle équilatéral (et même un tétraèdre ^^) mais on ne peut pas déterminer les milieux juste comme ça. Enfin c'est comme ça que j'interprète le commentaire de Titane ^^