Probleme sur les ensembles. - Page 1

Un petit problème de sup MPSI ca devrait pas vous poser trop de probleme mais moi je seche completement:

Soit f une application de E->F, E et F étant 2 ensembles quelconques. On définit f*: P(F)->P(E).
B->f*(B)=f^-1(B).
Montrer que f est injective si et seulement si f* est surjective.

Déjà, d'après sa définition, f* n'est autre que l'application réciproque de f. (Ils trouvent toujours des manières compliquées d'exprimer des trucs simples...)

Pour la démonstration, je pense que c'est quelque chose du style:
1. f injective => (f(x1)=f(x2)=>x1=x2) => f*=f^-1 définie sur f(E) et à valeurs E => f* surjective
2. f non injective => il existe f(x1)=f(x2) avec x1 différent de x2. Or si f* était surjective, il existerait y1 tel que f*(y1)=x1 et y2 tel que f*(y2)=x2. Donc comme f*(y)=f^-1(y), y1=y2=f(x1)=f(x2). Donc x1=f*(y1)=f*(y2)=x2 ce qui est absurde. Donc f* n'est pas surjective.

Mais je dis peut-être une connerie. (Si quelqu'un qui a été en sup MPSI passe, ça serait bien qu'il confirme ou critique ce que je viens de dire.)

[EDIT: J'espère que c'est bon là, parce que je commence à en avoir vraiment marre.]

Voilà, je pense que ça devrait être bon là.

Raaah, j'hésite toujours. Décidément, ce terme "surjectif" m'embête.

[EDIT: J'espère que c'est bon là, parce que je commence à en avoir vraiment marre.]

f injective <=> f* surjective

J'ai une petite idée sur ça, la démonstration n'est pas trop "mathématique"
J'expose la condition nécessaire puis la condition suffisante.

1°) (=>)
Soit f injective => ( f(x)=f(y) => x=y ) donc une image par f à au plus un antécédant.
f:E->F
donc f:E->P(F) P(F) inclus dans F.

et f*=f-1
donc f*P(F)->E et nombre d'élément de P(F)<nombre d'élémentde E.
donc une image à plusieurs antécédants ( f* étant une application)
donc f* surjective.


2°) (<
Soit f* surjectif donc au moins un antécédant f*:P(F)->P(E)
nombre d'éléments de P(E) < nombre d'élélements de P(F)
et f*=f-1 donc f:P(E)->P(F)
donc ici une image par f à au plus un antécédant ( f étant une application). donc f surjective.


avec le 1°) et le 2°) on a l'équivalence.
un peu tirer par les cheveux surtout le 2°).
J'attends les critiques....


A mon avis pour démontrer correctement, le mieux est d'utiliser l'inversibilité.

Kevin Kofler a écrit :
Mais je dis peut-être une connerie. (Si quelqu'un qui a été en sup MPSI passe, ça serait bien qu'il confirme ou critique ce que je viens de dire.)

Pas seulement en MPSI, même en PCSI ou à la fac (MIAS ou SM), il aborde cette partie du programme.

marci beaucoup !

Kevin Kofler
a écrit : f* n'est autre que l'application réciproque de f. (Ils trouvent toujours des manières compliquées d'exprimer des trucs simples...)

bah oui : f -> f* est un foncteur contravariant de la categorie des ensembles

"La violence est le dernier refuge de l'incompétence." Isaac Asimov

Asimov ne l'a pas invente, la formule existait deja avant Fondation