un problème de liberté - Page 1

alors voila j'ai une belle famille F ( x-->sin(x),x-->x*sin(x),x-->cos(x),x-->x*cos(x))
et je dois montrer qu'elle est libre :
cad montrer
soit (Li) 1<=i<=4
L1*sinx+L2*x*sinx+L3*cosx+L4*x*cosx=0
que L1=L2=L3=L4=0

eeeeeeeet j'y arrive pas, qqun peut 'il m'aider ?

tu testes en
x=0 => L3 = 0
x=Pi => L4 = 0
x=Pi/2 => L1 + (Pi/2)*L2 = 0
x=-Pi/2 => -L1 + (Pi/2)*L2 = 0
la somme et la difference des deux dernieres lignes => L1=L2=0

en effet, je me disais que faire varier x n'etait pas bon vu que cette relation etait valable pour tout x, mais j'avais tort , MERCI INFINIMENT NHERYVRA !!!!!!!!!

justement elle est vraie pour tout x donc en particulier pour tous les x que tu veut (0, 1, Pi, 42, ...)

voui exactement !!!! merci infiniment !!!
ca fait vraiment plaisir de comprendre ce que l'on fait

Nheryvra> il voulait dire qu'il pensait qu'il fallait qu'il exploite le fait qu'elle est vraie pour tout x, et pas seulement pour qques x particuliers...

Mais en fait on peut démontrer que dans le cas général, la famille (f1,f2,f3,f4) est libre si et seulement si il existe (xa,xb,xc,xd) tels que la famille ((f1(xa),f2(xa),f3(xa),f4(xa)),...) soit libre (ou que la matrice correspondante soit inversible, si tu preferes)

(c'est un peu l'analogue en dimension infinie du théoreme qui dit que le rang d'une matrice est le plus grand rang d'une matrice carrée extraite de celle-ci, ou encore qu'une matrice n x p est de rang p ssi on peut en extraire une sous-matrice p x p inversible : dans le cas qui nous intéresse n serait le cardinal de l'ensemble de définition des fonctions de départ [en l'occurrence l'ensemble est infini, donc c'est plus vraiment une matrice, mais tu vois l'idée] )