2 questions: trigo+géométrie - Page 1

bonjour à tous!
me revoila de retour de vacances, et bien entendu, j'ai encore besoin de votre aide pour m'aider à faire mes maths...
je bloque sur 2 questions, et j'aurai aimé que vous m'aidiez à les résoudre...

tout d'abord :
"on considère le réel a de l'intervalle [0;pi/2] tel que cos(a)= (1+racine de 5)/4
j'ai donc calculé cos(2a) et cos(4a) qui valent respectivement : cos(2a)=(-1+racine de 5)/4 et cos(4a)=(-1-racine de 5)/4
ensuite, en remarquant que cos(a) et cos(4a) sont opposés, j'ai pu en déduire que la valeur de a est pi/5
et là, on me demande d'en déduire les valeurs exactes de : sin(pi/5) ; sin(2pi/5) et sin(4pi/5), et on me demande de calculer la valeur exacte de cos(pi/10) et celle de sin(pi/10) et je ne sais pas comment faire ceci.
et ensuite :
"on considère le quadrilatère ABCD. on connait AB=8 ; BC=5 ; AD=6 ; l'angle ABC=60° et l'angle CAD=45°
on m'a demandé de calculer la diagonale AC (j'ai trouvé AC=7), puis on m'a demandé de calculer le côté DC (et j'ai trouvé DC environ égal à 5.06)
et là on me demande de calculer l'aire du quadrilatère ABCD, et je ne sais pas comment procéder...

je vous remercie bcp d'avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter...

cos^2+sin^2 = 1
tu connais le signe de sin et de cos (tableaux de variations toussa)

tu peux pas découper le quadrilatère en 2 triangles ? (flemme de faire un dessin )

Oui il faut découper le quadrilatère en 2 triangles, et on t'a demandé de calculer la diagonale qui correspond à la base des triangles.

Reste à prouver que l'union des 2 aires donne bien l'aire du quadrilatère ... on va dire que c'est "géométrique".

bah merci pour vos réponses, j'ai réussi à finir mon exercice!
pour l'histoire du quadrilatère, j'avais déja pensé à le découper en 2 triangles, mais je ne réussissais pas à trouver l'aire, mais après avoir bien réfléchi, j'ai enfin réussi! ^^

dailleurs, je voulais vous demander autre chose pour un autre exercice que je n'arrive vraiment pas à résoudre... :s

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O;i;j). on donne les points A(-2;3) et B(4;1).
D'abord, il faut déterminer l'équation de l'ensemble des points M tels que MA²+MB²=36
Ensuite, déterminer l'équation de l'ensemble des points M tels que MA²-MB²=9
Et enfin, déterminer l'équation de l'ensemble des points M tels que vectMA.vectMB=20

... je n'y arrive pas vraiment, donc si quelqu'un peut m'aider un p'tit peu, ce serait avec plaisir... :$
et désolée de toujours vous demander de l'aide, mais j'avoue que les maths et moi... ça fait 2! :s

Comme un bourrin: on note (x,y) les coordonnées de M.

alors MA² = (x-(-2))² + (y-3)² (c'est du pythagore) et MB² = (x-4)²+(y-1)²

alors MA²+MB²=36
<=> 2x²-4x+30+2y²-8*y=36
<=> x²-2x+15+y²-4*y=18 (division par 2 et ça sent l'équation de cercle)
<=> (x-1)² -1 + (y-2)² - 4 = 18-15=3
<=> (x-1)² + (y-2)² = 3+1+4=8

c'est un cercle de centre C de coordonnées (1,2) et de rayon racine(8) = 2*racine(2).

Pareil pour la suite

MA²-MB²=9
<=> 12x-4-4y=9
<=> 12x-4y=13

c'est une droite ...

Pour la dernière (MA salaire MB = 20) encore en bourrin coordonnées

les coordonnées du vecteur MA sont (-2-x,3-y) et les coords de MB sont (4-x,1-y)

d'où par propriétés de calcul du produit scalaire:

MA.MB=20
<=> (-2-2x)*(4-x)+(3-y)*(1-y) = 20
<=> -5-6x+2x²-4y+y² = 20
<=> 2(x-3/2)² - 9/2 + (y-2)² - 4 =20
<=> 2(x-3/2)² + (y-2)² = 57/2

et c'est une belle ellipse ! (bizarre pour du lycée ?! j'ai fait une erreur ?)

[edit: pour Julie: une ellipse est un cercle qu'on a un peu allongé dans une direction, ça ressemble à un ballon de rugby avec des extremités moins pointues

Aussi, as-tu fait un dessin de ce qu'on t'a demandé ? si oui il était "facile" de voir qu'on pouvait calculer rapidement les longueurs MA et MB en fonction des coordonnées de M pour ensuite trouver une équation caractérisant ce point]

le 1er, tu prends I le milieu de AB et MA = MI + IA
ensuite MA²+MB² = MI²+2MI.IA+IA² + MI²+2MI.IB+IB²
= 2 MI² + 2MI.(IA+IB) + IB²+IA²
= 2 MI² + IB² + IA² = 36
car IA+IB = 0 (I centre de AB)
IB et IA sont des constantes facilements calculables (IB² = (1/2*AB)² = 1/4*AB² )
donc on obtient MI ² = 36/2 - IB²-IA²
c'est bien un cercle de centre I

pour les autres, ça doit être la même méthode

J'ai pensé aussi à découper avec leur barycentre (l'exo se généralise en mettant des coeff devant MA² et MB², ensuite on trouve toujours des cercles ou des médiatrices ...) mais ici on lui demande l'équation des points, même si on peut y parvenir avec ta methode, elle est plutôt géométrique .
D'ailleurs l'exo ne demande pas de préciser la nature de l'ensemble des points, même s'il est naturel de le donner.

bin MI = r, c'est pas une équation ? une équation, y a pas forcément des x dedans, peut y avoir d'autres lettres

certes tu as raison je pensais qu'on sous-entendait équation cartésienne de l'ensemble des points.

merci beaucoup pour toutes vos réponses!

de rien