Zeros triviaux de Dzeta(s) - Page 1

Je vois ecris partout que -2, -4 etc. sont des zeros triviaux de Dzeta.

Or developpons Dzeta(-2); 1 + 2 au carré + 3 au carré + ...

ça diverge trivialement.

Comme j ai vu cette affirmation plusieurs fois, il y aune convention ou autre chose qui m echappe?

Sum(1/n^s) diverge évidemment dès que Re(s)<=0, mais en fait tu peux faire un prolongement analytique de la fonction pour que ça soit défini sur C - {1}...

C'est un peu comme si tu définissait ln comme ça :

ln(1+x) = Sum((-1)^n x^n/n, n>0)

Ca ne converge que pour |x|<=1 et x!=-1, mais ça ne veut pas dire que ln n'est pas défini ailleurs... En fait tu peux justement t'en servir pour définir ln sur C - R- tout entier par prolongement analytique

Y a t il un ouvrage serieux sur le sujet (Dzeta de Riemann) abordable au niveau Math Spe?

Et aussi merci Pollux, je comprends que la ou la serie diverge, on peut parfaitement effectuer un prolongement analytique (ton ex du Log est clair).

Aucune idée, tu peux peut-être essayer par exemple http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function#References ...

Sinon Mathworld ou Wikipedia peuvent être une bonne introduction, par exemple les zéros dont tu parles sont une application triviale de

( http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function#Basic_properties )

Ok merci, je vais regarder. Ça existe tjs la Revue de Mathematiques Speciales? je me souviens qu'il y avait des petites choses pas mal du tout. J avais achete ds les annees 80 un numero ou etait montré que tg(n)/n ne tend pas vers 0 (la sous suite exhibée était assez tordue...)

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C'est très beau.

La théorie des fonctions holomorphes/méromorphes, que de la balle.
La formule donnée sur Mathworld permet effectivement de prolonger Zeta en une fonction méromorphe sur C et fait tout de suite apparaître l'axe Re(s)=1/2 comme une droite vraiment particulière