Irrationnalité de ... - Page 1

Voilà je suis toujours sur cet exercice d'irrationanité de la somme des 1 sur racine de m.

Voici l'exercice :


Mais je n'arrive absolument à RIEN faire. Même pas la récurrence.
Les 3 hypothèses proposées à la question 1 me paraissent très très bizarres.
Enfin les questions d'après, je ne vois pas comment l'absurdité va démontrer que la somme est rationnelle.
En gros, je ne sais rien faire et j'ai rien compris. Pourtant j'ai réfléchi dessus.
Peut être, devrai-je plutot aller faire un BTS coiffure.....

JE demande juste des petits coups de pouce, et des explications pour me guider et amorcer au moins quelque chose.

Merci.

Mouais, vu le dernier N-1-échantillon suggéré à la question 1 n'en est pas un, ya un problème dans l'énoncé.


Bon, pour ce soir j'ai pas le temps et ça me saoule, mais demain je peux regarder ça

Hippopotame :
Mouais, vu le dernier N-1-échantillon suggéré à la question 1 n'en est pas un, ya un problème dans l'énoncé.

Ben si c'en est un car {a1...aN} est un ensemble de N entiers premiers entre eux deux à deux, donc nécessairement {a1...aN-2, aN-1aN} est un ensemble de N-1 entiers premiers entre eux deux à deux.

{a1...aN-2,a(N-1)aN} en est un car {a1...aN-2} est un N-2 échantillon ; aN-1 et aN ne sont pas divisible par tout entier dans {a1...aN-2}, donc aN-1aN n'est pas divisible par tout entier dans {a1...aN-2}, donc {a1...aN-2,a(N-1)aN} est un N-1 échantillon.

Bon, pour le reste j'ai pas ragardé, j'ai juste répondu à la question d'Hippo.

Par contre comme les notations sont lointaines, que signifie l'énoncé (En) ?

le [Q(sqrt ...) : Q] c'est le degré de l'extension sur Q qui correspond à la dimension du Qev Q[sqrt(a1) ...] si mes souvenirs sont bons

bon comme hippo, pas le temps de regarder là mais à tete reposée ca m'interesse (les extensions ca poutre en general)

J'ai tout d'un coup l'impression étrange de ne jamais avoir fait de maths de ma vie... et pourtant...

merci pour votre aide et de votre intérêt.

j'attends avec impatience que vous soyez à têtes reposés

Question débile : comment construit-on ?

Je me doute que ça a un rapport avec la multiplication (corps)... a priori le Q-ev ne correspond pas à ce que je connais des ev.

Bon, merci Azrael (./3), j'avais pas vu qu'il n'y avait pas de virgule entre aN-1 et aN.


Il est super pénible, cet exo, je trouve. En plus il faut taper sans arrêt des racines carrées, et j'ai la flemme de faire de belles formules comme dans le post ./7, c'est trop long, alors j'espère que ce que j'ai écrit sera lisible :




Pour la question 2a :

d'abord on a montré que la dimension sur Q de Q(sqrt(p1)....sqrt(pN)) vaut 2^N, ensuite on sait que le cardinal de l'ensemble des parties de {1...N} est 2^N, et donc que la famille des p_I a 2^N éléments. Il suffit donc de montrer que cette famille est libre, ou bien qu'elle est génératrice. Le choix le plus simple à mon avis est de montrer qu'elle est génératrice, c'est à dire que toute combinaison polynomiale des sqrt(p_i) s'écrit comme combinaison linéaire des p_I. C'est assez évident, mais c'est peut être un peu pénible à rédiger si on veut bien détailler.





Pour la question 2b :

Bon alors on appelle S la somme de 1 à m des 1/sqrt(m)
et on a S*sqrt(p1p2...pN) appartient à K.

Appelons A ce produit.

(*)
Le carré de A est rationnel : c'est S^2*p1*...*pN
Donc , si on décompose A sur la base définie au 2a, il n'y a qu'un seul terme : A=r*sqrt(truc) où r est un rationnel et truc un produit de différents p_i

(**)
Maintenant, si on distribue le produit S*sqrt(p1p2...pN), on va avoir une somme de 1/sqrt(m)*sqrt(p1p2...pN)
Une telle quantité s'écrit k*sqrt(pI) où k est un rationnel strictement positif, et pI un produit de nombres premiers pi.
En fait, pI est exactement le produit des nombres premiers qui apparaissent un nombre pair de fois dans la décomposition en facteurs premiers de m.
Il est donc clair que, en décomposant A sur la base des sqrt(pI), il y aura plusieurs termes non nuls, ce qui contredit (*)
(Par exemple, pour m=p2p3...pN, il y aura un terme sqrt(p1), et pour m=p1p3...pN, il y aura un terme sqrt(p2) )



Pour la question 1, je cherche encore.




6> Q[(sqrt(p1)...sqrt(pN)] c'est le corps engendré par les nombres sqrt(p1)...sqrt(pN) à partir de Q.
On peut voir ça comme le plus petit sous corps de C contenant les sqrt(p1)...sqrt(pN), c'est à dire comme l'intersection de tous les sous corps de C contenant les sqrt(p1)...sqrt(pN).
On peut le voir aussi comme l'ensemble des combinaisons rationnelles (ou simplement polynomiales), et à coefficients dans Q, des sqrt(p1)...sqrt(pN).

C'est aussi un Q-espace vectoriel, mais il est plus gros que l'espace vectoriel engendré par les sqrt(p1)...sqrt(pN)

Pour la question 1) on ne pourrait pas montrer par induction que et qu'aucun des espaces
et ne s'intersectent ?

Question 1 :


Bon, si on appelle K le corps Q(sqrt(a1),...,sqrt(a(N-2))), l'hypothèse de récurrence nous dit que les trois corps :

K1 = K ( sqrt(a(N-1)) )
K2 = K ( sqrt(a(N)) )
K3 = K ( sqrt(a(N-1)a(N)) )
sont de dimension 2^(N-1) sur Q,
et que le corps K est de dimension 2^(N-2).


Et on cherche à savoir si K1(sqrt(a(N))) est de dimension 2^N. Pour celà, il suffit de montrer que sqrt(aN) n'appartient pas à K1. (vu que sqrt(aN) est de degré 2)


Si on raisonne par l'absurde, et on suppose que sqrt(a(N)) appartient à K1, alors on en déduit rapidement que K1=K2=K3.

donc sqrt(a(N)) = U + V sqrt(a(N-1)) avec U et V dans K.

a(N) ne peut pas appartenir à K (sinon K2 =K, de degré 2^(N-2) sur Q). Donc V n'est pas nul.

(*) Si U est non nul :

alors, en élevant au carré, on a
a(N)=U² + 2UVsqrt(a(N-1)) + V²a(N-1)

soit sqrt(a(N-1)) = (a(N)-U²-V²a(N-1)) / 2UV

donc sqrt(a(N-1)) appartient à K. Donc on a K1=K

Mais c'est absurde puisque [K:Q]=2^(N-2) et [K1:Q]=2^(N-1)


(**) Si U est nul

sqrt(a(N)) = V sqrt(a(N-1)) avec V dans K.

Mézalor, en multipliant tout par sqrt(a(N-1)), on a :

sqrt(a(N-1)a(N)) = V*a(N-1)

Donc sqrt(a(N-1)a(N)) appartient à K. Donc K=K3

Mais c'est encore absurde car [K:Q]=2^(N-2) et [K3:Q]=2^(N-1)

Azrael_CV :
Pour la question 1) on ne pourrait pas montrer par induction que

Hmm, ça c'est vrai (enfin, si on lit des virgules entre les racines carrées).

et qu'aucun des espaces
et ne s'intersectent ?

Leur intersection est {0}, oui.
Mais c'est exactement là qu'est la difficulté de la question

C'est à dire : montrer que sqrt(pN) n'appartient pas à

En fait, pI est exactement le produit des nombres premiers qui apparaissent un nombre pair de fois dans la décomposition en facteurs premiers de m.

C'est pas plutot un nbr impair de fois vu que si m=p_1^(a_1)...p_N^(a_N), sqrt(p_1...p_N)/sqrt(m)=1/p_1^(a_1-1)...p_N^(a_N-1)

Ce sont des puissances a_i-1 et donc ce sont les puissances impairs des facteurs premiers de m qui sortent de la racine pour former le facteur rationnel.

Non ?

Ben ce sont les a_i-1 impairs qui sortent de la racine, et a_i-1 est impair si a_i est pair.

Donc les indices i concernés sont ceux pour lesquels a_i est pair, c'est à dire ceux pour lesquels p_i est présent un nombre pair de fois dans la décomposition de m.

Ben ce sont les a_i-1 impairs qui sortent de la racine, et a_i-1 est impair si a_i est pair.

Ce sont les carrés ou puissances paires qui peuvent sortir de la racine : sqrt(p^2)=p non ?

Je comprensd pas là.

Euh, oui.

Bon, reprenons.
Il sort de la racine un nombre pair de puissances. Donc il en reste une sous la racine à condition que a_i-1 soit impair. Donc que a_i soit pair.