suites - Page 1

Bonjour, j’ai un petit probleme sur des suite, j’ai ma fonction qui est f(n)=1/2[n+(2/n)] avec u « n »=f(n)

a)Il faut que je montre que cette suite est croissante strictement à partir de n=2
b) il faut que je determine la limite de la suite(u«n»)
c)il faut que je precise(u«n»/n)


Pour le a),j’ai dit que u«n»=n/2+1/n donc :
u«n»+1-u«n» = (n+1)/2+1/(n+1)-n/2-1/n = ½+1/(n+1)-1/n
Mais après je sais que : -u0 est impossible
-u1=0
-u2=1/3
Faut il que je le démontre de cette façon ??

Et les 2 questions suivantes je ne sais pas du tout comment il faut faire, pouvez vous m’aider svp
Je vous rassure c’est pas noté mais j’aimerais bien comprendre comment faire merci

Pour le a), essaye d'écrire ton u(n+1) - u(n) comme quotient A(n)/B(n). Etudie le signe de A et de B, et ça te donnera le signe de l'expression.
Pour le b), que peut on déduire du a) ? Tu sais que u est croissante, mais est-elle bornée ? Si oui, tu devrais pouvoir conclure, et si non, tu devrais pouvoir conclure aussi
Pour le c), c'est facile, u(n)/n c'est juste du calcul.

[cross]

Pour le a), j'ai donc developper Un+1 - Un

Un+1 - Un = 1/2+1/(n+1)-1/n = (n²+n-2)/(2n²+2n)
donc 2n²+2n sera toujours positif

et n²+n-2= (n+1/2)² - 9/4 avec (n+1/2)² positif et croissant

donc f(2)=25/4-9/4=4 donc la suite sera bien positive et croissant en n=2

Pour le b), J'ai fait la limite de la suite Un donc:
lim Un=lim(1/2 + 1/n)=lim 1/n=+infini donc je peux en conclure que la limite ne s'arrete jamais.

Pour le c), limUn/n= lim (n/2+2/n)/n= lim (1/2 + 2/n²)=lim 2/n²=0

Est ce cela??

spuddy60
: Pour le a)

ok

Pour le b), J'ai fait la limite de la suite Un donc: lim Un=lim(1/2 + 1/n)=lim 1/n=+infini donc je peux en conclure que la limite ne s'arrete jamais.

Bon, déjà c'est lim Un=lim(n/2+1/n), mais surtout : tu calcules la limite quand n tend vers quoi ? Donc n/2 tend vers quoi ? Et 1/n tend vers quoi ?
(la lim est bien +infini, mais ta justification est fausse)

Pour le c), limUn/n= lim (n/2+2/n)/n= lim (1/2 + 2/n²)=lim 2/n²=0

Qu'est-ce qui justifie le fait de passer de "lim 1/2 + 2/n²" à "lim 2/n²"

Pour le b, je sais en fait que la limite de n tendant vers l'infini de 1/n va tendre vers 0 et celle de n/2 tend vers l'infini donc on peut en conclure que la limite de Un tend vers l'infini.

Pour le c), je croyais que pour une limite tendant vers l'infini, il fallait garder le terme de plus haut degré. Mais donc vu que 1/n² tend vers 0, lim Un/n=1/2

ça y est, j'ai compris cette partie là!!Merci deja mais jai encore besoin de vous svp car la suite je n'y arrive pas du tout!

L'énoncé est :

Soit la suite(Vn) définie sur N* par :

V0=2
si n appartient à N*, Vn+1=f(Vn)

a)préciser sous forme de fraction irreductible les nombres V1,V2 et V3
b)en utilisant la premiere partie, prouver que :
- pour tout entier n, on a Vn>0 et racine de 2<Vn

- pour tout entier n, on a Vn>Vn+1 entraine Vn+1>Vn+2

En deduire que (Vn) est une suite strictement decroissante

c) Soit la suite (Wn) définie par: Wn=2/Vn

-Expliquer pourquoi on peut toujours calculer Wn
-Calculer les termes W0,W1,W2 et W3 sous forme de fractions irreductible
-Prouver que la suite (Wn) est strictement croissante et que l'on a Wn<racine de 2<Vn

Pouvez vous m'aider svp

Tu n'arrives pas à faire quoi, plus précisément ?

Tout à partir du b) car pour le a je trouve
V1=3/2
V2=17/12
V3=577/408

b) - par récurrence : si racine de 2<Vn, que peux-tu dire de V(n+1) ?
- que vaut Vn-V(n+1) ? peut-on déterminer son signe avec le résultat précédent ?
c) - facile
- calcul
- Wn<W(n+1) <=> quelle propriété de Vn ?, et Wn<sqrt(2) <=> quelle propriété de Vn ?

spuddy60 :
Pour le c), je croyais que pour une limite tendant vers l'infini, il fallait garder le terme de plus haut degré.

N.B. : ne t'inquiète pas trop si ce que je vais dire te semble compliqué, de toute façon la manière dont tu as finalement déterminé la limite est bonne .
Ce n'est pas faux cette histoire de plus haut degré, mais le problème c'est ta définition de « plus haut degré », en fait ça n'est vrai que pour les termes qui sont au *numérateur*, quand tu as du n au dénominateur (comme ici 1/n²) ça correspond à l'opposé du degré, donc 1/n² est en fait un terme de degré -2, alors que 1/2 est un terme de degré 0 (car n n'intervient pas). Donc le terme de plus haut degré c'est 1/2.

b) je peux dire que Vn+1<Vn car V1<V0
donc Vn-Vn+1 sera positif si Vn>Vn+1 et de plus, 2>3/2 Mais si l'on continue, on peut voir que la suite est decroissante vu que Vn+2<Vn+1

c) je n'ai pas le tableau des ensembles de definitions mais Vn>0 car on travaille dans N*??
Le calcul de Wn, je trouve W1=4/3 W2=24/17 et W3=816/577
Après je ne vois pas trop de quelle propriété tu veux parler

Bonjour je vais redonner l'enoncé! Car je n'arrive pas a faire le d) et e) du II)
I)
a)Il faut que je montre que cette suite est croissante strictement à partir de n=2
b) il faut que je determine la limite de la suite(u«n»)
c)il faut que je precise(u«n»/n)

J'ai donc trouvé:

U(n+1) - U(n) = (1/2).[n+1 +(2/(n+1))] - (1/2).[n+(2/n)]
= (1/2).[(n+1)²+2]/(n+1) - (1/2).(n²+2)/n
= (1/2).[n(n²+2n+3)-(n+1).(n²+2)]/[n(n+1)]
= (1/2).(n³+2n²+3n-n³-2n-n²-2)/[n(n+1)]
= (1/2).(n²+n-2)/[n(n+1)]
= (1/2).(n-1)(n+2)/[n(n+1)]

U(n+1) - U(n) = 0 pour n = 1
U(n+1) - U(n) > 0 pour n >= 2
--> La suite Un est strictement croissante à partir de n = 2.
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b)

lim(n-> +oo) U(n) = lim(n->+oo) (1/2).[n+(2/n)] = +oo
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c)U(n)/n = (1/2).(1+(2/n²))
U(n)/n = (1/2).(n²+2)/n²

lim(n-> oo) [U(n)/n] = (1/2).lim(n->oo) [(n²+2)/n²] = 1/2


II) Soit la suite(Vn) définie sur N* par :

V0=2
si n appartient à N*, Vn+1=f(Vn)

a)préciser sous forme de fraction irreductible les nombres V1,V2 et V3
b)en utilisant la premiere partie, prouver que :
- pour tout entier n, on a Vn>0 et racine de 2<Vn

- pour tout entier n, on a Vn>Vn+1 entraine Vn+1>Vn+2

En deduire que (Vn) est une suite strictement decroissante

c) Soit la suite (Wn) définie par: Wn=2/Vn

-Expliquer pourquoi on peut toujours calculer Wn
-Calculer les termes W0,W1,W2 et W3 sous forme de fractions irreductible
-Prouver que la suite (Wn) est strictement croissante et que l'on a Wn<racine de 2<Vn

d) on note pour tout entier n, Dn=Vn-Wn; prouver que :
Dn+1=Vn+1-Wn+1<Vn+1-Wn=1/2Dn
et 0<Dn<1/(2^n)

En deduire que la suite (Dn) converge vers 0
Quel est alors la limite de la suite(Vn)?

e) Quelle est la longueur de l'intervalle[W4;V4]? Commentaire?

J'ai donc trouvé:

a)

f(n)=(1/2)[n+(2/n)]

V(n+1) = (1/2)[V(n)+(2/V(n))]
V(0) = 2

V(1) = (1/2)[V(0)+(2/V(0))] = (1/2)[2+(2/2)] = 3/2
V(2) = (1/2)[V(1)+(2/V(1))] = (1/2)[(3/2)+(2/(3/2))] =(1/2)[(3/2)+(4/3)] = 17/12
V(3) = (1/2)[V(2)+(2/V(2))] = (1/2)[(17/12)+(2/(17/12))] = (1/2).[(17/12)+(24/17)] = 577/408
---
b)

V(n+1) - V(n) = (1/2)[V(n)+(2/V(n))] - V(n)
V(n+1) - V(n) = (1/V(n)) - (1/2).V(n)
V(n+1) - V(n) = (2-(V(n))²)/(2V(n))

Si V(n) > 0, alors , comme V(n+1) = (1/2)[V(n)+(2/V(n))] on a V(n+1) > 0
Comme V(0) > 0 --> tous les termes de Vn sont positifs.
--> V(n+1) - V(n) a le signe de (2-(V(n))²)

V(n+1) = (1/2)[V(n)+(2/V(n))] = (1/2)[(2+(V(n))²)/V(n)]

g(x) = (1/2)[(2+x²)/x] pour x > 0
g'(x) = (1/2)[(2x²-2-x²)/x²]
g'(x) = (1/2)[(x²-2)/x²]
g'(x) = (1/2)[(x-racine(2))(x+racine(2))/x²]
Comme x > 0, g'(x) a le signe de (x-racine(2))

g'(x) < 0 pour x dans ]0 ; racine(2)[ --> g(x) est décroissante.
g'(x) = 0 pour x = racine(2)
g'(x) > 0 pour x dans ]racine(2) ; oo[ --> g(x) est croissante.

g(x) a un minimum pour x = racine(2), ce minimum vaut g(racine(2)) = (1/2).(2+2)/racine(2) = racine(2)

--> g(V(x)) = (1/2)[(2+(V(n))²)/V(n)] >= racine(2)

V(n+1) >= racine(2)

Comme V(0) > racine(2), tous les termes de la suite Vn sont > racine(2)

Comme V(n+1) - V(n) a le signe de (2-(V(n))²), on a donc: V(n+1) - V(n) < 0

soit V(n+1) < V(n) --> la suite Vn est strictement décroissante.
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c)
La suite Vn est strictement décroissante, V(0) = 2 et V(n) > racine(2) pour tout n de N

--> racine(2) < V(n) <= 2 pour tout n de N

V(n) n'est jamais nul et donc 2/V(n) est défini pour tout n de N, on peut par conséquent toujours calculer W(n)

W(0) = 2/V(0) = 2/2 = 1
W(1) = 2/V(1) = 2/(3/2) = 4/3
W(2) = 2/V(2) = 2/(17/12) = 24/17
W(3) = 2/V(3) = 2/(577/408) = 816/577

Comme la suite Vn est strictement décroissante et que V(n) est stritement positif, la suite de terme général 2/V(n) est strictement croissante.

On a montré avant que: racine(2) < V(n) pour tout n de N.
avec V(n) > 0 --> 1/racine(2) > 1/V(n)
2/racine(2) > 2/V(n)
racine(2) > 2/V(n)
2/V(n) < racine(2)
W(n) < racine(2)

On a donc: W(n) < racine(2) < V(n)

d) D(n) = V(n) - W(n)
D(n+1) = V(n+1) - W(n+1)

Et comme Wn est une suite croissante, on sait que W(n+1) > W(n)
--> D(n+1) < V(n+1) - W(n)

Or :
V(n+1) - W(n) = V(n+1) - 2/V(n) = (1/2).[V(n)+(2/V(n))] - 2/V(n)
V(n+1) - W(n) = (1/2).V(n) + 1/V(n) - 2/V(n)
V(n+1) - W(n) = (1/2).V(n) - 1/V(n)
V(n+1) - W(n) = (1/2).V(n) - (1/2). 2/V(n)
V(n+1) - W(n) = (1/2).V(n) - (1/2).W(n)
V(n+1) - W(n) = (1/2).(V(n) - W(n))
V(n+1) - W(n) = (1/2).D(n)

et on a alors : D(n+1) = V(n+1) - W(n+1) < V(n+1) - W(n) = (1/2).D(n)
-----
D(n) = V(n) - 2/(V(n))
D(n) = ((V(n))² - 2)/(V(n))

Mais ensuite je n'y arrive plus, pouvez vous m'aider SVP
Merci d'avance

Ça dépend.

Voici la solution :

(Traduction, si tu ne donnes pas l'exercice, on ne peut pas t'aider)

bjr! un exo vrai ou faux de maths sa vous tente?pourriez vous m'aider a trouver une limite lim(n-+infini)(1+1/n)^n jsui sur ke c pa = a 1 car g tracé la courbe mé jarrive pa a le démontrer! merci bcp

D'une part, écris en français, c'est quasiment illisible.
D'autre part, c'est pas mieux en maths car la limite est bien égale à 1, du moins en +

Euh si je ne m'abuse la limite est plutôt e mais bon

za > dans ce genre d'expression avec une puissance, il faut en général regarder le logarithme, ici tu dois pouvoir trouver la limite du logarithme de ta suite assez facilement normalement (enfin je ne sais pas quel est ton niveau, mais si on t'a donné cet exercice tu trouveras sans doute dans ton cours une formule te permettant de la calculer). Ensuite tu utilises le fait que l'exponentielle est une fonction continue pour trouver la limite de la suite elle-même.

jte remercie bcp sally et dsl toutefois pour le langage sms!!!