MathsEV - Page 1

tout le monde pose une question alors moi aussi !

Soit E un espace vectoriel sur K, p et q deux projecteurs de E.Donner une CNS (condition necessaire et suffisante) pour que p + q soit un projecteur.
Donner un exemple et un contre exemple ds R^3.
Si p+q est un projecteur, determiner son ilage et son noyeau en fct de ceux de p et q .
thX !

1ere question (la CNS)
=============

p+q proj
<=> (p+q)^2=p+q
<=> p^2+pq+qp+q^2=p+q
<=> p+pq+qp+q=p+q

<=> pq + qp = 0

Bon.
Ensuite on en deduit que
Ker(p) et Im(p) sont q-stables
Ker(q) et Im(q) sont p-stables

Ensuite, soit x dans Im(p).
0 = p(q(x))+q(p(x))
0 = q(x) + q(x)
=> q(x)=0 et x est dans Ker q

Donc une CN est :

Im(p) inclus dans Ker(q)
Im(q) inclus dans Ker(p)
Ker(p) est stable par q
Ker(q) est stable par p


Montrons que c'est une CS :

si x est dans Ker(p),
p(q(x))+q(p(x))=0+0=0 car q(x) est dans ker(p)

si x est dans Im(p) alors x est dans Ker(q) et ca marche encore

si x est dans E, x=y+z, y dans Ker(p) et z dans Im(p), par linearite ca marche encore

2e question (exemple et contre exemple)
===========

Pour l'exemple,

(1 0 0)
(0 0 0) = p
(0 0 0)

(0 0 0)
(0 1 0) = q
(0 0 0)

Pour le contre exemple, p = q = Id

3e question : Image et noyau
===========

* D'abord, Im(p+q) inclus dans Im(p)+Im(q). Montrons la reciproque.

Soit x dans Im(p). donc x est dans Ker(q), et (p+q)(x) = p(x) + q(x) = x+0 = x
donc x est dans Im(p+q)

Im(p) inclus dans Im(p+q), et de meme Im(q) inclus dans Im(p+q).
On en deduit :

Im(p+q) = Im(p) + Im(q)


*On a Ker(p) inter Ker(q) inclus dans Ker(p+q). Montrons la reciproque.

Soit x dans Ker(p+q).
p(x)+q(x) = 0
=> p( p(x)+q(x) ) =0
=> p(x) + p(q(x)) =0
=> p( x+q(x) ) =0
=> x+q(x) est dans Im(p)
=> x+q(x) est dans Ker(q)
=> q(x) + q(q(x)) =0
=> q(x) = 0
=> x dans Ker(q)

Donc Ker(p+q) est inclus dans Ker(q), et de meme il est inclus dans Ker(p).

Ker(p+q) = Ker(p) inter Ker (q)

C'est parfait il me semble

merci bien !!

C'est bien pratique d'avoir des ENS, des X-mens sur le forum, il est vrai .

y a pa de quoi (ALGEBRE)

héhé, dis donc, tu veux pas venir passer mes concours a ma place

kler lol

ouh là là, c'est vraiment du chintok pour moi l'algèbre.

J'ai fait une prépa intégrée l'ISEN, mais j'ai jamais rien compris à l'algèbre.
Tout d'abord, c'est quoi un espace vectoriel (en des termes non chinois) et ça sert à quoi ? (telchar > ne t'évanouis pas !)

Inutile de vous dire que toutes mes notes en algèbre étaient de 0/20.
Quand au prof de maths, il a pris sa retraite prématurément (par désespoir de l'enseignement), et ce grâce à moi .



Pourtant je bossais vraiment d'arrache pied l'algèbre pour essayer de comprendre !
[edit]Edité par jcop le 11-12-2001 à 14:59:03[/edit]

Espace vectoriel : groupe + loi externe sur un corps.

zut, j'ai oublié ce qu'était un groupe et un corps.
c'est quoi une loi externe ?

tu vois, j'ai du mal à piger...

loi externe : si tu multiplies un élément par un du corps, tu retrouve un élément de l'EV.

Bon d'abord la question qui tue : "ca sert a quoi?".
1)en premiere approximation, a rien
2)qd meme a beaucoup de choses en sciences.
3)Plus ca sert a rien, plus c'est pur et beau. Les maths les plus chiantes sont aussi celles qui servent pour la physique&co (beurk). enfin ca c'est mon avis


Bon un ev, techniquement, c'est :

On a un ensemble E, c'est l'ensemble des vecteurs, et un corps k. (pour pour simplifier, k c'est les reels)
On a une loi notee + sur E : on peut additionner deux vecteurs
On peut multiplier un reel (un element de k en fait) par un vecteur, on trouve un vecteur.

Pour etre tout a fait precis, les axiomes qu'on impose sont exactement les suivants :

pour tous vecteurs u, v, w et pour tous reels x, y, on a :

u+v=v+u
u+(v+w)=(u+v)+w
u+0=u
pour tout u il existe -u tel que u+(-u)=0

x*(u+v) = x*u + x*v
(x+y)*u = x*u + y*u
1*u = u
x*(y*u) = (x*y) * u



Bon, maintenant, qu'est ce que c'est "intuitivement" ?

C'est grosso modo une modelisation d'un espace comme l'espace dans lequel nous vivons, mais avec autant de dimension qu'on veut :
* 0 dimension comme un point
* 1 dimension comme une ligne
* 2 dimensions comme une feuille de papier
* 3 comme notre espace a nous
* 4 (c'est irrepresentable mais c'est pas grave)
* 1789521 dimensions (c'est encore moins representable)
* voir meme une infinite de dimensions
[edit]Edité par telchar le 11-12-2001 à 16:36:06[/edit]

et ben ! c à kel nivo d'etudes tout ca ?

je me rappelle qu'en sup qun avaiyt demander au prof de math la question:

"Mais, m'sieur, ca sert a koi un ev?"

le prof a hurler et a commencer a debiter pas mal de conneries

je fais ça en maths...
je rame à mourrir...

ça sert à quoi, si quelqu'un sait ?

tu fais quoi comme études squale ?

ca sert a etre beau.
c'est de l'art.

mou aha ah on aura tout entendu ici : D

Mais la définition de l'espace vectoriel, c'est très facile!

Une définition non-formelle: un espace vectoriel est un espace équivalent à |R^n (c'est à dire à l'ensemble des colonnes de n nombres), ou alors à |R^infini (c'est-à-dire à l'ensemble des colonnes de nombres infinies).

Utilité : comme toute l'algèbre : à beaucoup de choses. Comme l'automatisme, rien qu'un petit exemple...

Kevin> arg! c'est en gros ca, mais ya des subtilites.


1) d'abord le corps de base est pas forcement R, mais bon faisons comme si.


2)

Pour les e.v. de dimension finie : effectivement c'est toujours isomorphe a R^n .

Mais les e.v. de dimension infinie sont plus traitres ( = plus interessants )

-d'abord il y a plusieurs sortes d'infinis : infini denombrable comme N ou infini plus grand comme R, etc...

-Ensuite, par exemple :
On peut prendre comme e.v. l'ensemble des suites de reels (a0,a1,a2...). Ca nous fait un certain e.v. E1.
On peut prendre comme autre e.v. l'ensemble des suites de reels (a0,a1,...) tous nuls sauf un nombre fini d'entre eux. Ca nous fait un autre e.v. E2

Et on a clairement E1 <> E2.

En fait le cas de la dimension infinie regroupe des multitudes de cas exotiques ou pathologiques.

C'est pour ça que je disais "non formelle".

mais ce qui me rebute un peu, c'est qu'un e.v, ça peut représenter différents trucs qui n'ont à priori rien à voir (sauf à être des e.v) comme par exemple :
l'ensemble des fonctions continues sur [a, b] (R-ev)
K^n (k-ev)
l'ensemble des suites (Un) dans R
K[X]
etc....

je vois pas non plus comment on applique les termes comme vecteurs, familles, bases, dimensions, cardinaux, et autres trucs machin chouettes avec par ex des suites.

ben pkoi pas ?
C'est abstrait, c'est tout...

Application de la théorie des ensembles : l'automatisme.

C'est paas compliqué, il y a des applications simples de la théorie des ensembles - mon oncle a étudié ça en 2de pour l'automatisme. -

Moi aussi ca me laisse perplexe cette notion d'EV ...