Jyaif Le 22/01/2009 à 14:11 Bonjour,
je veux trouver le nombre de solutions à l'équation kx=sin(x), en fonctionde k (k est positif);
On trouve facilement que pour k>1, il y a une seule solution. Par contre, je n'arrive pas à trouver les intervalles de k suivant.
Chercher les valeurs de k ou le nombre de solutions change <=> chercher les valeurs de k ou la droite kx devient tangente à la courbe sin(x) <=> chercher les x1 tel que:
k*x1 = sin(x1)
et
k = cos(x1)
A partir de là, je ne sais pas quoi faire!!
Avez vous des idées?
cos(x1)*x1=sin(x1)
x1=tan(x1)
Tu cherches les cosinus des points fixes de la fonction tangente. Mais je ne vois pas non plus comment continuer.
Jyaif Le 27/01/2009 à 01:59 Je n'ai pas avancé non plus.
Je me contente donc de trouver les solutions numériquement avec matlab...
Pour trouver le nombre de solutions avec matlab, je cherche des solutions avec fzero( sin(x)-k*x, n), avec n (qui est l'estimation de départ) variant de -1/n à 1/n avec un pas de 0.01 . Ensuite j'élimine les solutions qui sont identique (à 10^-5 près).
Le problème, c'est que c'est très lent, (car en plus je fais varier k de 0 à 1).
Est-ce que vous avez une meilleur idée? Je ne connais pas bien matlab, donc je me demande si il n'y a pas de fonctions mieux adaptées.
La tangente n'a qu'un point fixe dans chaque période de la tangente (regarde la tête de la courbe tangente). Donc à mon avis, énumérer les périodes de la tangente et calculer le cosinus de la solution trouvée dans cette période est probablement la meilleure solution. Normalement tu ne devrais pas avoir de duplicata, à condition que tu ne calcules que les périodes x>=0. Pour x<0, tu as tan(x)=-tan(-x) (c'est valable pour tout x), et donc tan(x)=x <=> tan(-x)=-x. Donc cette solution est l'opposé d'une solution avec x>0. Or cos(-x)=cos(x), donc ça te donne la même solution que pour la période opposée.
