Diagonalisation d'une matrice carrée - Page 1

J'ai compris comment ça marche mais je me pose quand même une question :

Ça permet de lui donner une forme plus pratique pour faire des traitements dessus après.

./2 > . En soit, tout seul, ça ne sert à rien mais apres dans une utilisation informatique ou autre ça peut grandement aider.

* En pratique :

C'est très important pour résoudre de nombreux problèmes effectifs :
- calculs des puissances d'une matrice
- calcul de racine carrée, ou même d'exponentielle ou autres fonctions analytiques de matrices (Ce que fait une HP49 avec DIAGMAP)
- système d'équations différentielles
- systèmes dynamiques linéaires
- etc...


* en théorie :

La diagonalisation (enfin, plus généralement, la décomposition de Jordan) est la classification des classes d'équivalence de matrices pour la similitude, c'est très important...

Le fait de savoir que certaines matrices sont diagonalisables, permet de résoudre (resp. démontrer) plus facilement certains problèmes (resp. certaines propriétés), d'autre part.

Je trouve dingue qu'on ne cherche pas à y voir l'utilité (le cours est fini)

Donc dans quelle mesure ça sert à résoudre un "système d'équations différentielles" ?



Evidemment, j'ai compris 20% du reste....

Par exemple, une application simple, c'est trouver une expression de Fn = Fn-1 + Fn-2 (F0 = F1 = 1) en fonction de n.

On a (Fn+1,Fn) = ((1,1),(1,0))(Fn,Fn-1), donc (Fn+1,Fn) = ((1,1),(1,0))^n(F0,F1).
Or ta matrice elle est égale à PDP^-1, et à la puissance n elle vaut donc PD^nP^-1. D est une matrice d'homothétie, sa n-ième puissance est la matrice diagonale contenant les n-ièmes puissances des éléments de D.
La seule chose qui dépend de n ici est dans D. On en déduit que Fn est une combinaison linéaire des puissances n-ièmes des éléments de D. (qui sont phi et -phi)
Puis on trouve les coefficients d'après les expressions de F0 et F1.

Que veut dire ceci : ((1,1),(1,0))(Fn,Fn-1) ?




En fait, on a vu à quoi ça servait (c'est moi qui étais aout) : à utiliser le Th de Cayley(?)-Hamilton.

à le démontrer, plutôt?

((1,1),(1,0))(Fn,Fn-1)

Ben la matrice ((1,1),(1,0)) multipliée par le vecteur (Fn,Fn-1)...

Donc dans quelle mesure ça sert à résoudre un "système d'équations différentielles" ?

Ben par exemple tu diagonalises ton système, ça fait des equas diffs à une fonction inconnue à résoudre.
Ou alors (mais c'est pareil) ça sert à calculer une exponentielle de matrice...

e^M = somme (M^n/n!) = somme ((PDP^-1)^n/n!) = somme((PD^nP^-1)/n!) = Psomme(D^n/n!)P^-1.
Or si D contient les lambda_i sur sa diagonale, somme(D^n/n!) contient les e^lambda_i sur sa diagonale.
Ainsi e^M est diagonalisable, de spectre {e^lambda_i}, et si on garde les valeurs propres dans l'ordre, la matrice de passage reste la même (aka P).
De là on a e^M bien sûr, mais en plus on l'a directement sous forme diagonalisée

En plus simple, diagonaliser un endomorphisme, c'est trouver la meilleure base dans laquelle l'étudier (et comprendre comment il agit / quelles sont ses propriétés).

Moumou :
(qui sont phi et -phi)

(ça serait même pas monotone en plus )

Euh bon 1/phi, ok, mais avec phi say trop facile de gourrer, spa ma faute

Le lecteur attentif aura rectifié de lui même : phi et -1/phi=1-phi

1/0.618 ~ 1.618
Et 1.618² ~ 2.618.
C'est bô

Moué, bof

Ce qui est surtout beau, c'est que phi=1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(...............
et que c'est la fraction continue qui converge le plus lentement

pawa ^^

Hippopotamu
: à le démontrer, plutôt?

nan, on l'utilise simplement nous pour trouver l'inverse d'une matrice
[ite]

((1,1),(1,0))(Fn,Fn-1)

Ben la matrice ((1,1),(1,0)) multipliée par le vecteur (Fn,Fn-1)...
[/cite]ah ben oui [/cite]

Moumou :
En plus simple, diagonaliser un endomorphisme, c'est trouver la meilleure base dans laquelle l'étudier (et comprendre comment il agit / quelles sont ses propriétés).

C'est beau dit comme ça.
(Une matrice est donc un endomorphisme ? )

Moumou :
1/0.618 ~ 1.618
Et 1.618² ~ 2.618.
C'est bô

Oh oui

C'est beau dit comme ça.
(Une matrice est donc un endomorphisme ? )

Oui, une matrice est la représentation d'un endomorphisme dans une base fixée. (mais si tu ne te fixes pas de base avant, ça n'a pas de sens!) La diagonalisation te donne une autre matrice, mais qui représente le même endomorphisme, juste exprimé dans une base plus adaptée que celle de départ (ce qui fait que la matrice va être plus simple à manipuler après)

Ben il y a une bijection canonique (linéaire, continue, et tout ce que tu veux, bien sûr) entre les matrices n*n et les endomorphismes de |K^n. Mais si vous avez pas encore vu ça, c'est ptet (même sûrement) que vous allez voir plus tard à quoi sert la diagonalisation.

C'est un peu dommage de voir la diagonalisation avant... Ca permet pas de "sentir" ce que c'est que deux matrices semblables, ou équivalentes

C'est dommage de ne pas faire de l'algèbre linéaire avant de toute façon...

Edité par Hippopotamu le 09-12-2004 à 20:50:00.

mwarf

[Édit : Moumou a fait un édit furtif, mais je laisse le msg au cas où d'autres n'auraient pas compris ^^]

Ben comme j'ai posté à 20:50, ça veut dire que j'ai posté entre en 20:50:00.00 et 20:50:00.xx, et que Hippo a édité entre 20:50:00.xx et 20:50:00.99 ^^

Si ça c'est pas du post de l33t ...

Il y a aussi le fait que la diagonalisation donne les valeurs propres et vecteurs propres de la matrice et vice-versa.

Quel rapport avec la date de l'edit, tout ça ?

Moumou :
Mais si vous avez pas encore vu ça, c'est ptet (même sûrement) que vous allez voir plus tard à quoi sert la diagonalisation.

Ben nan. Le semestre est fini donc la diagonalisation, c'est fini. Le semestre prochain, on fait que des proba

Pollux> C'est tellement simple quand tu expliques

On a "vu" ce qu'étaient des matrices semblables (enfin on a vu une formule mais pas ce que ça représente vraiment).


A quoi servent les valeurs propres/vecteurs propres ?
(A part à diagonaliser)
Qu'est-ce qu'ils représentent ?

Si tu diagonalises, ça veut dire qu'il existe une base de vecteurs propres, c'est à dire une base de vecteur (xi), telle que pour tout i, il existe lambda_i dans |K, tel que M.xi = lambda_i*xi.
En gros, M se comporte comme une homothétie dans la direction de xi. Les valeurs propres de M, c'est l'ensemble des lambda_i.
Et diagonaliser la matrice, c'est déterminer la matrice de l'endomorphisme dans cette base de vecteurs propres, ça la rend bien plus simple.

NB : Par contre même si ça permet d'obtenir les valeurs propres et vecteurs propres de ta matrice, ce n'est vraiment pas la meilleure solution.