Bon, en pousuivant sur ma lancé:
Définisons l'ellipsoide dans un repère orthonormé (O,i,j,k) par:
4x2+y2+z2/4=1 Les axes s'en déduisent.
L'intersection d'un plan avec l'ellipsoide, quand elle existe donne une ellipsoide ou un cercle. Si elle ne donne pas de cercle, cela signifie que le problème n'a pas de solutions.
Si elle donne un cercle(donc je suppose l'existence d'au moins une solution), on peux se contenter de déterminé l'intersection d'une sphère avec l'ellipsoide.
La sphère centrée à l'origine, de rayon R, a pour équation x2/R2 + y2/R2 + z2/R2 = 1
Un équateur de la sphère cherchée passe par un des axes de coordonnées en coupant l'ellipsoïde suivant un cercle. Cette axe ne peux-être que Oxy. J'ai pompé cette belle phrase sur internet
Cela se comprend bien car l'axe Oy est médian(a>b>c) car a=1/2 b=1 c=2
Les équations des cercles sont données par le système :
4x2+y2+z2/4=1
x2/R2 + y2/R2 + z2/R2 = 1 (Comme c'est l'axe Oy R=b=1)
Qu'on peux écrire:
4x2=z2
4y2+5z2=4 (ce qui représente je pense un cylindre)
Ces cercles(forcément il y a deux solutions symétriques) sont donc dans le plan 2x+z=0 (Plan P) ou 2x-z=0(Plan P')
L'intersection du cylindre et des plans donnent les deux cercles solutions.
On garde uniquement le plan P, puisque que les deux solutions donnent de toute façon le même rayon.
Le point A(0,0,0) appartient à P
le point B(0,1,0) appartient à P
le point C(1,0,2) appartient à P
donc les vecteurs AB et AC sont vecteurs directeurs du plan car il n'existe pas k tel que AB=kAC
En normant AB(0,1,0) et AC(1,0,2) on obtient:
I=j
J=(5^0.5/5)i-(2*5^0.5/5)k
On prend alors dans le plan P le repère O,I,J tel que:
I=j
J=(5^0.5/5)i-(2*5^0.5/5)k
soit:
OM'=X*I+Y*J
OM=x*i+y*j+z*k
On a alors les formules de changement de repère par identification:
x=5^0.5/5Y
y=X
z=-(2*5^0.5/5)Y
En reportant dans 4y2+5z2=4 on obtient: X2+Y2=1
La réponse est donc un rayon de 1
chris.