Equation complexe - Page 1

Hello,

Je suis un peu bloqué sur : (z+i)^7 + (z-i)^7 = 0

Je sais que ça a un rapport assez direct avec les racines énièmes de l'unité, mais pas moyen de trouver. (notamment les solutions de Z^7 = 1 sont très très liées ^^)

Si quelqu'un aurait une petite indication ? (c'est une équation type, à ce que j'ai pu en voir ^^).

(i+z)^7 = (i-z)^7
donc ils ont le même module, donc déjà si z = x + iy on a x² + (y–1)² = x² + (y+1)²
donc z est réel, si je ne me trompe pas.

Du coup ces deux nombres sont conjugués. Et si tu divises l'équation par l'un des deux, tu te retrouves à résoudre (z/zbarre)^7+1 = 0

P.S. : je te conseille de faire un schéma, placer z, z+i, z-i, leurs puissances, et regarder ce que signifie l'équation graphiquement

Merci beaucoup, ça m'a aidé.

En clair, on a (z+i)^7 + (z-i)^7 = 0 donc (z+i)^7 = -(z-i)^7

D'où (z+i)^7/(i-z)^7 = 1

Donc ((z+i)/(i-z))^7 = 1

Alors, ((z+i)/(i-z)) appartient à l'ensemble des racines septièmes de l'unité. Ensuite, c'est plus que du calcul ^^

euh oui tu peux faire comme ça aussi si tu veux effectivement ^^

sinon mon idée de la suite était que (x/xbarre)^7 = –1 où x = z+i, et l'argument de x/xbarre c'est 2arg(x), donc x a un argument de la forme thêta = (2k + 1)pi/14, ensuite comme Re(x) = z et Im(x) = 1 on a z = 1/tan(thêta) pour chacun de ces thêtas, sauf pi/2 qui donne z = 0

Ok, alors j'ai pas tout compris ^^

Arg(x/xbarre) = 2arg(x) je comprends (j'y aurai pas pensé, mais c'es encore bon ^^).
Par contre,

Sally (./2) :
(i+z)^7 = (i-z)^7 donc ils ont le même module, donc déjà si z = x + iy on a x² + (y-1)² = x² + (y+1)²

J'aurais mis x² + (y+1)² = x² + (1-y)². Je comprends pas ^^

Et sinon, z= 1/tan(thêta) car Re(x)= z et Im(x) = 1, je ne vois vraiment pas. Comment fait tu ?

Bon déjà ta méthode marche parfaitement hein . La mienne demande peut-être un petit peu moins de calculs mais bon ^^

Sinon tu as raison mais je n'ai pas fait très attention parce que y–1 et 1–y ont le même carré (ils sont opposés l'un de l'autre ^^). Donc les deux égalités sont équivalentes ^^
Dans tous les cas ça donne bien y = 0 et donc z est réel

Ensuite c'est facile à voir sur un dessin, tu as un triangle rectangle avec l'angle thêta, le côté adjacent qui vaut z et le côté opposé qui vaut 1. Mais tu peux aussi le voir par le calcul :
z = Re(x) = |x|cos thêta
1 = Im(x) = |x|sin thêta
en divisant tu as z/1 = |x|cos thêta/|x|sin thêta, les |x| s'éliminent et ça donne bien 1/tan thêta SAUF quand thêta = pi/2 où ça fait 0 (tan thêta n'est pas défini dans ce cas).

En fait pour éviter ce cas particulier on peut écrire z = cotan thêta mais je ne sais pas si tu connais la cotangente, c'est pour ça que je ne l'ai pas écrit ^^. Ou on peut laisser ça sous la forme cos thêta/sin thêta, aussi ^^

Merci beaucoup !

Pour cotangente, je sais juste que c'est grosso modo tan^-1.

Et oui, ta solution comporte beaucoup moins de calculs ^^

Oui voilà, en fait cotangente précisément c'est cosinus/sinus.
La différence avec tangente^–1 c'est qu'en pi/2 et -pi/2 c'est bien défini et ça vaut 0.