Résolution d'une eqt linéaire à coeff csts d'ordre 2 - Page 1

soit l'eqt homogène
(1) a.U_n+2 + b.U_n+1 + c.U_n = 0

soit l'éqt caractéristique associée
(2) a.r² + b.r + c = 0


Comment résous-je l'éqt (en utilisant les complexes) ?


Marchi...

L'équation (2) a deux racines complexes z1 et z2.

Si z1 != z2 alors l'espace des solutions de (1) est engendré par les suites z1^n et z2^n.

Si z1 = z2 = z, alors l'espace des solutions est engendré par les suites z^n et n*z^n.

Il reste à expliciter les coefficients devant les deux générateurs, pour celà, on utilise les deux termes initiaux de la suite Un...

Soyez indulgents, j'ai pas touché aux complexes depuis 18 mois

z1ⁿ & z2ⁿ ne sont pas réelles !?






Et une question notation :
"A quoi ça sert de trainer un lourd "(U_n)_n" pour parler d'une suite ?

z1^n et z2^n sont complexes en général, mais si ta suite est à terme réels, en cherchant les coefficients a et b tels que u_n = a*z1^n + b*z2^n, tu vas "tomber" sur des coefficients complexes "magiques" qui vont annuler la partie imaginaire du complexe a*z1^n + b*z2^n, pour tout n entier.

Si tu veux voir pkoi ça se simplifie, essaye d'écrire z1 et z2 en forme polaire, puis après tu utilises le fait que cos(k*n) = 1/2 * exp(i*k)^n + 1/2 * exp(-i*k)^n, et idem pour sin(k*n).

Titane :
"A quoi ça sert de trainer un lourd "(U_n)_n" pour parler d'une suite ?

Pasque tu peux écrire "(U_2n)_n", "(U_2n * log n)_n", etc...

z1^n et z2^n sont des suites complexes... qu'elles soient réelles ou complexes ne change rien à rien


Selon les auteurs ou ouvrages ou contextes, une suite peut être notée U, (U), (Un)n ...


On ne peut bien sûr pas utiliser Un pour noter la suite, car n ne serait pas une variable muette (Par exemple, si je dis "la suite n+m", ça n'a aucun sens).
La notation (Un)n permet d'indiquer la variable (par exemple, "la suite (n+m)n", c'est la suite m, m+1, m+2....).


[ En fait plus généralement la notation (Ui)i pour i dans I désigne une famille indexée par I, les suites sont un cas particuliers quand I=N. ]

Pollux
: Si tu veux voir pkoi ça se simplifie, essaye d'écrire z1 et z2 en forme polaire

Effectivement. Merci.

Hippopotamu
: On ne peut bien sûr pas utiliser Un pour noter la suite, car n ne serait pas une variable muette (Par exemple, si je dis "la suite n+m", ça n'a aucun sens).

Ah bon

Si je te dis "la suite p+q", c'est quoi pour toi?

Ici en Autriche, on parle en général de "la suite (u_n)" pour dire "la suite (u_n)_n". Ce n'est que quand il n'est pas "évident" de quelle variable il s'agit qu'on la met en indice. Même chose aux USA d'ailleurs. On note aussi couramment ∑u_n pour dire la somme de 0 ou 1 (selon le contexte) à +∞.

Evidemment, mais c plus une abréviation qu'autre chose...

Hippopotamu :
Si je te dis "la suite p+q", c'est quoi pour toi?

Une somme de deux suites. Mais
-Qu'est-ce qu'une variable muette ?
-Pourquoi ne le serait-elle pas ?
-Est-ce que le silence de la variable mette est d'or ?

Kevin Kofler :
+∞.

Qu'est-ce ?

Titane
:

Hippopotamu :
Si je te dis "la suite p+q", c'est quoi pour toi?

Une somme de deux suites.

Mu??
C'est à dire?
Cite moi les premiers termes de la "suite p+q"....

-Qu'est-ce qu'une variable muette ?
-Pourquoi ne le serait-elle pas ? -Est-ce que le silence de la variable mette est d'or ?

Il y a deux sortes de variables dans les notations mathématiques :

- d'une part, par exemple, quand tu écris l'expression x²-2x

- d'autre part, part exemple, quand tu écris l'expression "intégrale de 0 à 1 de x²dx"

La première expression est a priori différente de t²-2t, alors que la seconde est aussi égale à "intégrale de 0 à 1 de t²dt". La variable x est muette dans la seconde expression, elle peut être indifféremment remplacée par n'importe quelle variable.

Analogie informatique : le premier cas est une variable ou une constante globale définie dans tout le programme. Le second cas est une variable locale, dont la portée est restreinte à un bout du code.


Bref.
(Un)n indique la variable muette ; par exemple la suite (Un)n est égale à la suite (Up)p.

Dans la notaion (p+q)p, on comprend parfaitement quelle est la suite : elle a pour premiers termes q, q+1, q+2.... Alors que la notation (p+q) est ambigue.

Kevin Kofler :
+∞.

Qu'est-ce ?

plus infini

Hippopotamu
:

Titane
:

Hippopotamu :
Si je te dis "la suite p+q", c'est quoi pour toi?

Une somme de deux suites.

Mu??
C'est à dire?
Cite moi les premiers termes de la "suite p+q"....

Il veut parler de la somme terme à terme de la suite p et de la suite q, j'imagine... Pas de la suite (q,q+1,q+2 ...)

Hippopotamu
: Dans la notaion (p+q)p, on comprend parfaitement quelle est la suite : elle a pour premiers termes q, q+1, q+2....

ah bon

Kevin Kofler :
+∞.

Qu'est-ce ?

plus infini

J'avais compris mais pour quoi ce caractère ?

Pollux> Voilà.

ah bon

Non?


(Up)p est une notation synonyme de

|N  -> |R
 p  ->  Up

Titane> C'est le caractère "infini" Unicode.

Hippopotamu
:

ah bon

Non?

bof
j'en sais rien moi ; je comprends pas, c'est tout

(Up)p est une notation synonyme de

|N  -> |R
 p  ->  Up

Bah d'un coup c'est plus clair. Mais pourquoi on ne peut pas abréger par "Up" ? (Pourquoi p ne serait pas muette ?) On pourrait écrire (Up)_k ? Si oui, j'ai tout compris.


Kevin> Ok. C'est bizarre comme signe nan ?

j'en sais rien moi ; je comprends pas, c'est tout

Il n'y a rien à comprendre, il y a juste à savoir....

Mais pourquoi on ne peut pas abréger par "Up" ?

Up est un nombre réel. Pas une suite.

On pourrait écrire (Up)k ?

(Up)k est une suite constante, dont tous les termes valent Up...

Hippopotamu
:

On pourrait écrire (Up)k ?

(Up)k est une suite constante, dont tous les termes valent Up...

A condition que p et Up soient déjà définis ailleurs, bien sûr... Sinon ça ne veut rien dire.

Hippopotamu
:

On pourrait écrire (Up)k ?

(Up)k est une suite constante, dont tous les termes valent Up...

Donc la seule solution est d'avoir (Up)_k.p, avec k=1 dans 90% des cas...

L'indice est toujours une *variable*, pas une expression... Tu *définirais* f par : "f : 5^x -> 42*x" ?

Titane :
Donc la seule solution est d'avoir (Up)_k.p, avec k=1 dans 90% des cas...

²

Ca veut dire quoi?

En indice de la parenthèse, on met une *variable*.

Titane
:

Hippopotamu
:

On pourrait écrire (Up)k ?

(Up)k est une suite constante, dont tous les termes valent Up...

Donc la seule solution est d'avoir (Up)_k.p, avec k=1 dans 90% des cas...

Pardon, c'est : (U_k.p)p, avec k=1 dans 90% des cas...

Là, c'est bon ?

Je ne comprends pas ce que tu dis...

D'abord c'est la seule solution à quoi?
Pourquoi cette notation (Uk.p)p ?
Qu'est ce que ça veut dire "k=1 dans 90% des cas" ?

"solution" signifie "écriture correcte"

Bon, peut-on écrire :
(Up)p
(U2p)p
(U4p)p
(Uk.p)p
(U_f(p))_p ???

Oui, bien sûr ^^ Mais je vois pas le rapport

Il n'y en a probablement pas.

Kevin Kofler :
Ici en Autriche, on parle en général de "la suite (u_n)" pour dire "la suite (u_n)_n". Ce n'est que quand il n'est pas "évident" de quelle variable il s'agit qu'on la met en indice. Même chose aux USA d'ailleurs. On note aussi couramment ∑u_n pour dire la somme de 0 ou 1 (selon le contexte) à +∞.

On fait la même chose en France, ce qui suffit dans 90% des cas.

Bref, ce ne sont que les gens comme Hippopotamu qui coupent les cheveux en 4.

C'est un abus.